\(\displaystyle{ ||f||_w = \sqrt{\int_0^1e^xf^2(x)dx}}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ (C[0, 1], ||.||_w)}\) jest unormowaną przestrzenią wektorową.Pokazałem już, że \(\displaystyle{ ||f||_w \geq 0}\) dla dowolnej \(\displaystyle{ f \in C[0, 1]}\) oraz, że \(\displaystyle{ ||f||_w = 0}\) tylko dla funkcji zerowej.
Oraz pokazałem, że \(\displaystyle{ ||\lambda f||_w = |\lambda| \cdot ||f||_w}\).
To akurat było łatwe.
Nie umiem pokazać nierówności trójkąta. Wiem, że muszę udowodnić
\(\displaystyle{ ||f + g||_w \leq ||f||_w + ||g||_w}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt{\int_0^1e^x(f + g)^2(x)dx} \leq \sqrt{\int_0^1e^xf^2(x)dx} + \sqrt{\int_0^1e^xg^2(x)dx}}\) dla \(\displaystyle{ f, g \in C[0, 1]}\)
Nic mi nie wychodzi. Jakieś sugestie jak to rozwiązać?----- Edit: -----
Rozumiem, że jest
\(\displaystyle{ ||f + g||_w = \sqrt{\int_0^1e^x(f + g)^2(x)dx} = \sqrt{\int_0^1e^x\bigr(f^2(x) + 2f(x)g(x) + g^2(x)\bigl)dx} =}\)
\(\displaystyle{ = \sqrt{\int_0^1e^xf^2(x)dx} + \sqrt{\int_0^1e^x2f(x)g(x)dx} + \sqrt{\int_0^1e^xg^2(x)dx} =}\)
\(\displaystyle{ ||f||_w + \sqrt{\int_0^1e^x2f(x)g(x)dx} + ||g||_w}\)
Tylko co z tym środkowym pierwiastkiem? Co mogę o nim powiedzieć?\(\displaystyle{ = \sqrt{\int_0^1e^xf^2(x)dx} + \sqrt{\int_0^1e^x2f(x)g(x)dx} + \sqrt{\int_0^1e^xg^2(x)dx} =}\)
\(\displaystyle{ ||f||_w + \sqrt{\int_0^1e^x2f(x)g(x)dx} + ||g||_w}\)
