ciąg arytmetyczny - różnica
-
maximum2000
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 19 cze 2017, o 08:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ola
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 5 razy
ciąg arytmetyczny - różnica
Niech \(\displaystyle{ n,M}\) naturalne oraz \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem arytmtycznym takim że \(\displaystyle{ a_1^2+a_{n+1}^2 \le M}\). Wyznacz maksimum różnicy \(\displaystyle{ S_{2n+1}-S_n}\) , gdzie \(\displaystyle{ S_n= \sum_{i=1}^{n}(a_i)}\)
-
kropka+
- Użytkownik
- Posty: 4389
- Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 787 razy
Re: ciąg arytmetyczny - różnica
\(\displaystyle{ S _{2n+1}-S _{n}=a _{n+1} +a _{n+2} +...+a _{2n+1} = \frac{a _{n+1} +a _{2n+1} }{2} \cdot (n+1)}\)
\(\displaystyle{ a _{n+1}= \frac{a _{1} +a _{2n+1} }{2} \Rightarrow a _{2n+1}=2a _{n+1} -a _{1}}\)
stąd
\(\displaystyle{ S _{2n+1}-S _{n} =\frac{3a _{n+1} -a _{1} }{2} \cdot (n+1)}\)
Szukamy maksimum powyższej funkcji, więc można od razu przyjąć, że \(\displaystyle{ a _{n+1}>0 \wedge a _{1} \le 0}\)
\(\displaystyle{ a _{1} ^{2} +a _{n+1} ^{2} \le M}\)
\(\displaystyle{ a _{1} ^{2} \le M-a _{n+1} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ - \sqrt{M-a _{n+1} ^{2}}\le a _{1} \le \sqrt{M-a _{n+1} ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ S _{2n+1}-S _{n} =\frac{3a _{n+1} -a _{1} }{2} \cdot (n+1) \le\frac{3a _{n+1} +\sqrt{M-a _{n+1} ^{2}} }{2} \cdot (n+1)=f\left( a _{n+1}\right)}\)
\(\displaystyle{ f'\left( a _{n+1}\right) = \frac{n+1}{2}\left( 3- \frac{a _{n+1} }{ \sqrt{M-a _{n+1} ^{2} } } \right)}\)
\(\displaystyle{ f'(a _{n+1} )=0 \Leftrightarrow \frac{a _{n+1} }{ \sqrt{M-a _{n+1} ^{2}} }=3 \Rightarrow a _{n+1} ^{2} =0.9M}\)
Wybieramy dodatnią wartość \(\displaystyle{ a _{n+1}=3 \sqrt{ \frac{M}{10} }}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ max\left( S _{2n+1} -S _{n}\right) = \frac{9 \sqrt{ \frac{M}{10} }+ \sqrt{ \frac{M}{10} } }{2} \cdot (n+1)= \frac{ \sqrt{10M}(n+1) }{2}}\)
\(\displaystyle{ a _{n+1}= \frac{a _{1} +a _{2n+1} }{2} \Rightarrow a _{2n+1}=2a _{n+1} -a _{1}}\)
stąd
\(\displaystyle{ S _{2n+1}-S _{n} =\frac{3a _{n+1} -a _{1} }{2} \cdot (n+1)}\)
Szukamy maksimum powyższej funkcji, więc można od razu przyjąć, że \(\displaystyle{ a _{n+1}>0 \wedge a _{1} \le 0}\)
\(\displaystyle{ a _{1} ^{2} +a _{n+1} ^{2} \le M}\)
\(\displaystyle{ a _{1} ^{2} \le M-a _{n+1} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ - \sqrt{M-a _{n+1} ^{2}}\le a _{1} \le \sqrt{M-a _{n+1} ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ S _{2n+1}-S _{n} =\frac{3a _{n+1} -a _{1} }{2} \cdot (n+1) \le\frac{3a _{n+1} +\sqrt{M-a _{n+1} ^{2}} }{2} \cdot (n+1)=f\left( a _{n+1}\right)}\)
\(\displaystyle{ f'\left( a _{n+1}\right) = \frac{n+1}{2}\left( 3- \frac{a _{n+1} }{ \sqrt{M-a _{n+1} ^{2} } } \right)}\)
\(\displaystyle{ f'(a _{n+1} )=0 \Leftrightarrow \frac{a _{n+1} }{ \sqrt{M-a _{n+1} ^{2}} }=3 \Rightarrow a _{n+1} ^{2} =0.9M}\)
Wybieramy dodatnią wartość \(\displaystyle{ a _{n+1}=3 \sqrt{ \frac{M}{10} }}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ max\left( S _{2n+1} -S _{n}\right) = \frac{9 \sqrt{ \frac{M}{10} }+ \sqrt{ \frac{M}{10} } }{2} \cdot (n+1)= \frac{ \sqrt{10M}(n+1) }{2}}\)