Metoda różniki zupełnej - błąd pomiaru gęstości

[Hikori]

Hej,
Chciałem Was prosić o pomoc w wyprowadzeniu wzorów na błąd pomiaru gęstości walca, prostopadłościanu oraz kuli metodą różniczki zupełnej. Powiem tak, próbowałem sam powyprowadzać wzory ale zupełnie się gubię przy obliczaniu pochodnej cząsteczkowej albo nie jestem pewien czy dobrze to wyprowadziłem. Wiem tyle, że:
Dla walca wzór bez policzonych pochodnych cząsteczkowych wygląda tak:
\(\displaystyle{ \Delta \rho=\frac{ \partial \rho}{ \partial d} \times \Delta d + \frac{ \partial \rho}{ \partial h} \times \Delta h + \frac{ \partial \rho}{ \partial m} \times \Delta m}\)
Dla kuli:
\(\displaystyle{ \Delta \rho=\frac{ \partial \rho}{ \partial d} \times \Delta d + \frac{ \partial \rho}{ \partial m} \times \Delta m}\)
Dla prostopadłościanu:
\(\displaystyle{ \Delta \rho=\frac{ \partial \rho}{ \partial a} \times \Delta a + \frac{ \partial \rho}{ \partial b} \times \Delta b + \frac{ \partial \rho}{ \partial h} \times \Delta h + \frac{ \partial \rho}{ \partial m} \times \Delta m}\)
Chciałbym zaznaczyć, że nigdy nie miałem doczynienia z rachunkiem różniczkowym i staram się sam to wszystko jakoś zrozumieć ale już nie mam pomysłu jak się za to zabrać. Nie mogę niestety liczyć na wykładowcę bo jak on to powiedział, to nie jego problem. Także chciałbym Was prosić o wyprowadzenie tych wzorów krok po kroku, żebym to dobrze zrozumiał i w przyszłości sam mógł wyprowadzać wzory tą metodą.
Z góry dziękuję za pomoc

[janusz47]

Co to jest gęstość (masa właściwa) substancji oznaczana najczęściej literką \(\displaystyle{ \rho?}\)

[Hikori]

Czy chodzi Ci o \(\displaystyle{ \rho =\frac{m}{V}}\) ?

[janusz47]

Tak, gdzie \(\displaystyle{ V}\) to objętość.

Jak obliczamy objętość walca (wzór?).

Jaki wzór otrzymamy na \(\displaystyle{ \rho}\) walca, po podstawieniu tej objętośći?

[Hikori]

V dla walca: \(\displaystyle{ V=\pi \times r^{2} \times h}\)

Po podstawieniu: \(\displaystyle{ \frac{m}{\pi \times r^{2} \times h}}\) gdzie r zamieniamy na d, więc dostajemy \(\displaystyle{ \frac{m}{\pi \times d^{2} \times h}}\)

V dla kuli: \(\displaystyle{ V=\frac{4}{3} \times \pi \times R^{3}}\)

Po podstawieniu: \(\displaystyle{ \frac{m}{\frac{4}{3} \times \pi \times R^{3}}}\)

V dla prostopadłościanu: \(\displaystyle{ V=a \times b \times h}\)

Po podstawieniu: \(\displaystyle{ \frac{m}{a \times b \times h}}\)-- 9 lis 2017, o 17:08 --Ok, może pokaże moje wcześniejsze wyprowadzenia, może są poprawne.
Dla walca:
\(\displaystyle{ \Delta \rho=\frac{ \partial \rho}{ \partial d} \times \Delta d + \frac{ \partial \rho}{ \partial h} \times \Delta h + \frac{ \partial \rho}{ \partial m} \times \Delta m}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial \rho}{ \partial d}= - \frac{2m}{\pi \times d^3 \times h} \times \Delta d}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial \rho}{ \partial h}= - \frac{m}{\pi \times d^2 \times h^2} \times \Delta h}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial \rho}{ \partial m}= \frac{1}{\pi \times d^2 \times h} \times \Delta m}\)

Dla kuli:
\(\displaystyle{ \Delta \rho=\frac{ \partial \rho}{ \partial d} \times \Delta d + \frac{ \partial \rho}{ \partial m} \times \Delta m}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial \rho}{ \partial a}= \frac{m}{a^2 \times b \times h} \times \Delta a}\)


\(\displaystyle{ \frac{ \partial \rho}{ \partial d}= \frac{9m}{4 \times \pi \times d^4} \times \Delta d}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial \rho}{ \partial m}= \frac{3}{4 \times \pi \times d^3} \times \Delta d}\)

Dla prostopadłościanu:
\(\displaystyle{ \Delta \rho=\frac{ \partial \rho}{ \partial a} \times \Delta a + \frac{ \partial \rho}{ \partial b} \times \Delta b + \frac{ \partial \rho}{ \partial h} \times \Delta h + \frac{ \partial \rho}{ \partial m} \times \Delta m}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial \rho}{ \partial a}= - \frac{m}{a^2 \times b \times h} \times \Delta a}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial \rho}{ \partial b}= - \frac{m}{a \times b^2 \times h} \times \Delta b}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial \rho}{ \partial h}= - \frac{m}{a \times b \times h^2} \times \Delta h}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial \rho}{ \partial m}= \frac{1}{a \times b \times h} \times \Delta m}\)

[janusz47]

Wracamy do walca.

\(\displaystyle{ V = \pi r^2 \cdot h.}\)

\(\displaystyle{ r = \frac{d}{2}.}\)

\(\displaystyle{ V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot h = \frac{\pi d^2}{4}\cdot h.}\)

\(\displaystyle{ \rho (d, h, m) = \frac{4m}{\pi d^2 \cdot h}.}\)

\(\displaystyle{ \rho'_{|d}(d,h,m) =\frac{ -8m}{\pi d^3\cdot h}.}\)

\(\displaystyle{ \rho'_{|h}(d, h, m) = \frac{-4m}{\pi d^2 \cdot h^2}.}\)

\(\displaystyle{ \rho'_{|m}(d, h,m) = \frac{4}{\pi d^2 \cdot h}.}\)

\(\displaystyle{ \Delta \rho = \left| \frac{ -8m}{\pi d^3\cdot h}\right|\cdot |\Delta d| + \left| \frac{-4m}{\pi d^2\cdot h^2}\right|\cdot | \Delta h | + \left|\frac{4}{\pi d^2 \cdot h}\right |\cdot |\Delta m| =.}\)

\(\displaystyle{ \Delta \rho =\left| \frac{8m}{\pi d^3\cdot h}\right|\cdot |\Delta d| + \left| \frac{4m}{\pi d^2\cdot h^2}\right|\cdot | \Delta h | + \left|\frac{4}{\pi d^2 \cdot h}\right |\cdot |\Delta m|.}\)

Błąd bezwzględny pomiaru gęstości metodą różniczki zupełnej dla kuli i prostopadłościanu obliczamy podobnie.