Witam
czy mógłby mi ktoś udzielić wsparcia z rozwiązaniem podanej poniżej całki oraz wyprowadzenie wzoru rekurencyjnego do niej, z którego będzie się korzystać w celu rozwiązania danej całki? Proszę również o wyjaśnienie jaki wzór rekurencyjny i jak on ma się do danej całki. Z góry dziękuję bardzo!
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x-1) \cdot \sqrt{x ^{2}+2 } }}\)
oblicz całkę oraz wyprowadź wzór rekurencyjny
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: oblicz całkę oraz wyprowadź wzór rekurencyjny
Ja proponuję pierwsze Eulera nie będziemy mieli ułamków pod pierwiastkiem
Drugie podstawienie Eulera może wymagać mniej obliczeń
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x-1) \cdot \sqrt{x ^{2}+2 } }\\
\sqrt{x^2+2}=t-x\\
x^2+2=t^2-2tx+x^2\\
2=t^2-2tx\\
2tx=t^2-2\\
x=\frac{t^2-2}{2t}\\
x-1=\frac{t^2-2t-2}{2t}\\
t-x=\frac{2t^2-t^2+2}{2t}=\frac{t^2+2}{2t}\\
\mbox{d}x =\frac{2t \cdot 2t-2\left( t^2-2\right) }{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x =\frac{t^2+2}{2t^2} \mbox{d}t\\
\int{\frac{2t}{t^2-2t-2} \cdot \frac{2t}{t^2+2} \cdot \frac{t^2+2}{2t^2} \mbox{d}t}\\
=\int{\frac{2}{t^2-2t-2} \mbox{d}t}\\
=\int{\frac{2}{\left( t-1\right)^2-3 } \mbox{d}t}\\
=\frac{1}{ \sqrt{3} }\int{\frac{\left(t-1+ \sqrt{3}\right)-\left(t-1- \sqrt{3}\right) }{\left( t-1-\sqrt{3}\right)\left( t-1-\sqrt{3}\right)} \mbox{d}t}\\
=\frac{1}{ \sqrt{3} }\left( \int{ \frac{ \mbox{d}t}{t-1- \sqrt{3}} }-\int{ \frac{ \mbox{d}t}{t-1+ \sqrt{3}} }\right)\\
=\frac{1}{ \sqrt{3} }\ln{\left| \frac{t-1- \sqrt{3}}{t-1+ \sqrt{3}} \right| }+C\\
=\frac{1}{ \sqrt{3} }\ln{\left| \frac{\sqrt{3}\sqrt{x^2+2}-x-2}{x-1} \right| }+C\\}\)
Drugie podstawienie Eulera może wymagać mniej obliczeń
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x-1) \cdot \sqrt{x ^{2}+2 } }\\
\sqrt{x^2+2}=t-x\\
x^2+2=t^2-2tx+x^2\\
2=t^2-2tx\\
2tx=t^2-2\\
x=\frac{t^2-2}{2t}\\
x-1=\frac{t^2-2t-2}{2t}\\
t-x=\frac{2t^2-t^2+2}{2t}=\frac{t^2+2}{2t}\\
\mbox{d}x =\frac{2t \cdot 2t-2\left( t^2-2\right) }{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x =\frac{t^2+2}{2t^2} \mbox{d}t\\
\int{\frac{2t}{t^2-2t-2} \cdot \frac{2t}{t^2+2} \cdot \frac{t^2+2}{2t^2} \mbox{d}t}\\
=\int{\frac{2}{t^2-2t-2} \mbox{d}t}\\
=\int{\frac{2}{\left( t-1\right)^2-3 } \mbox{d}t}\\
=\frac{1}{ \sqrt{3} }\int{\frac{\left(t-1+ \sqrt{3}\right)-\left(t-1- \sqrt{3}\right) }{\left( t-1-\sqrt{3}\right)\left( t-1-\sqrt{3}\right)} \mbox{d}t}\\
=\frac{1}{ \sqrt{3} }\left( \int{ \frac{ \mbox{d}t}{t-1- \sqrt{3}} }-\int{ \frac{ \mbox{d}t}{t-1+ \sqrt{3}} }\right)\\
=\frac{1}{ \sqrt{3} }\ln{\left| \frac{t-1- \sqrt{3}}{t-1+ \sqrt{3}} \right| }+C\\
=\frac{1}{ \sqrt{3} }\ln{\left| \frac{\sqrt{3}\sqrt{x^2+2}-x-2}{x-1} \right| }+C\\}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
oblicz całkę oraz wyprowadź wzór rekurencyjny
Pod pierwiastkiem po podstawieniu \(\displaystyle{ t = \frac{1}{x-1}}\) nie będziemy mieli pierwiastków, jeśli sprowadzimy wyrażenie podpierwiastkowe do NWW.
Otrzymamy całkę z funkcji:
\(\displaystyle{ \frac{-1}{\sqrt{3t^2+2t +1}}.}\)
Otrzymamy całkę z funkcji:
\(\displaystyle{ \frac{-1}{\sqrt{3t^2+2t +1}}.}\)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: oblicz całkę oraz wyprowadź wzór rekurencyjny
janusz47, no będziesz miał pierwiastek a dodatkowo pod tym pierwiastkiem będziesz miał ułamek
Ciekawe jaki to miał być wzór rekurencyjny
Ciekawe jaki to miał być wzór rekurencyjny