Co można powiedzieć o rzędzie tej podgrupy z tw. Lagrange'a

[ReallyGrid]

Załóżmy, że grupa \(\displaystyle{ G}\) rzędu \(\displaystyle{ 250}\) ma element \(\displaystyle{ a}\) rzędu \(\displaystyle{ 25}\) i element \(\displaystyle{ b}\) rzędu \(\displaystyle{ 10}\). Weźmy podgrupę \(\displaystyle{ \langle a, b\rangle}\) wygenerowaną przez \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
Co można wywnioskować z twierdzenia Lagrange'a o rzędzie tej podgrupy?

Z tego twierdzenia mogę powiedzieć, że rząd podgrupy \(\displaystyle{ \langle a, b\rangle}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ 250}\) (rzędu grupy \(\displaystyle{ G}\)).

Nie wiem co dalej czyli jak wykorzystać informację, że \(\displaystyle{ a}\) ma rząd \(\displaystyle{ 25}\), a \(\displaystyle{ b}\) ma rząd \(\displaystyle{ 10}\). Proszę o pomoc.

[leg14]

Możesz powiedzieć, że ma rząd 50 lub 250. Nic więcej się nie da

[arek1357]

No jeśli abelowa to może mieć rząd 50

[ReallyGrid]

Ok wiem, że \(\displaystyle{ 50|250}\) oraz \(\displaystyle{ 250|250}\). Ale proszę o jakieś słowo wyjaśnienia dlaczego tylko te liczby. I dlaczego może mieć rząd 50 tylko jeśli jest abelowa?

[leg14]

Ok wiem, że 50|250 oraz 250|250. Ale proszę o jakieś słowo wyjaśnienia dlaczego tylko te liczby

A jakie jeszcze masz opcje?

[ReallyGrid]

A jakie jeszcze masz opcje?

\(\displaystyle{ 25}\) też dzieli \(\displaystyle{ 250}\). Dlatego poprosiłem o słowo komentarza do tego.

[leg14]

A jaki rząd ma b? (które musi być elementem tej podgrupy)

[ReallyGrid]

No dobra, wiem że \(\displaystyle{ b}\) ma rząd \(\displaystyle{ 10}\) bo to jest bezpośrednio w zadaniu podane i \(\displaystyle{ 10\nmid 25}\). Ale jest też polecenie "Co można wywnioskować z twierdzenia Lagrange'a o rzędzie tej podgrupy?" Skoro rząd podgrupy dzieli rząd grupy to wiem, że kandydatami są wszystkie dodatnie dzielniki \(\displaystyle{ 250}\) czyli

\(\displaystyle{ 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250}\).

A teraz chodzi mi tylko o wytłumaczenie dlaczego tylko te dwa: \(\displaystyle{ 50}\) i \(\displaystyle{ 250}\). Wiem, że to ma jakiś związek z rzędami elementów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). \(\displaystyle{ a|50}\) i \(\displaystyle{ b|50}\) oraz \(\displaystyle{ a|250}\) i \(\displaystyle{ b|250}\). Ale tylko proszę o jakieś słowo wytłumaczenia. Dlaczego nie mogą to być wszystkie wielokrotności \(\displaystyle{ a}\) łącznie z wszystkimi wielokrotnościami \(\displaystyle{ b}\) (ale nie większe od \(\displaystyle{ 250}\) i które dzielą \(\displaystyle{ 250}\))? Czyli

\(\displaystyle{ \{25, 50, 250\} \cup \{10, 50, 250\} = \{10, 25, 50, 250\}}\)

--- Edit: ---
I co ma tutaj abelowość do tego zadania, tego nie rozumiem już w ogóle.

[leg14]

I co ma tutaj abelowość do tego zadania, tego nie rozumiem już w ogóle.

Nic nie ma. tzn. da się chyba pokazać, że jeśli nie jest abelowa, to ten rząd jest równy \(\displaystyle{ 250}\). Ale, że nie wiemy , czy jets abelowa, czy nie, to satysfakcjonuje nas odpowiedź \(\displaystyle{ 50 \vee 250}\)

No dobra, wiem że \(\displaystyle{ b}\) ma rząd \(\displaystyle{ 10}\) bo to jest bezpośrednio w zadaniu podane i \(\displaystyle{ 10\nmid 25}\).

Z twierdzenia Lagrange;a wiesz, że rząd elementu dzieli rząd grupy (podgrupa jest grupą ). Czyli masz sprzeczność i rząd tej podgrupy nie może być równy 25. Analogiczne rozumowanei stosujesz dla innych mozliwych rzędów.
Albo jeszcze dosadniej
\(\displaystyle{ \left\langle b\right\rangle}\) jest podgrupą \(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle}\) i aplikujesz twierdzenie Lagrange'a.

Dlaczego nie mogą to być wszystkie wielokrotności \(\displaystyle{ a}\) łącznie z wszystkimi wielokrotnościami \(\displaystyle{ b}\) (ale nie większe od \(\displaystyle{ 250}\) i które dzielą \(\displaystyle{ 250}\))? Czyli

\(\displaystyle{ \{25, 50, 250\} \cup \{10, 50, 250\} = \{10, 25, 50, 250\}}\)

Nie rozumiem

[ReallyGrid]

Ok zrobiłem jak radziłeś. Najpierw \(\displaystyle{ |a| | |\langle a, b\rangle|}\), \(\displaystyle{ |b| | |\langle a, b\rangle|}\) i musi być też, że \(\displaystyle{ |\langle a, b\rangle| | |G|}\). To rozumiem, te własności spełniają tylko dwie liczby: \(\displaystyle{ 50}\) i \(\displaystyle{ 250}\).

Tylko małe pytanko na koniec. Dlaczego odpowiedzią są właśnie dwie liczby a nie jedna? Czy to nie powinna być jedna liczba zdeterminowana przez rzędy elementów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)? Ich rząd jest ustalony, podobnie jak rząd grupy \(\displaystyle{ G}\). Czyli jeśli utworzę grupę generowaną przez te elementy to raz będę mógł powiedzieć, że grupa \(\displaystyle{ \langle a, b\rangle}\) ma rząd \(\displaystyle{ 50}\) a innym razem zmieni się na \(\displaystyle{ 250}\)? Trochę to dla mnie dziwne. Chociaż, to, że mogą to być tylko te dwie liczby to już rozumiem

[Dasio11]

Dla ustalonych \(\displaystyle{ a, b \in G}\) rząd \(\displaystyle{ \left< a, b \right>}\) może być tylko jeden. Ale nie wiemy, jakie one są, a podane założenia nie wystarczają, żeby wykluczyć wszystkie możliwości poza jedną. To tak, jakby polecenie brzmiało: dana jest liczba \(\displaystyle{ x \in \RR,}\) taka że \(\displaystyle{ x^2 = 9.}\) Co można powiedzieć o \(\displaystyle{ x}\)? Tylko tyle, że \(\displaystyle{ x = 3}\) lub \(\displaystyle{ x = -3,}\) i oba przypadki są możliwe.

[ReallyGrid]

Aaaa dzięki no to teraz rozumiem