Walec, kula, równia

[kara4425001]

Walec jednorodny toczy się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie nachylenia \(\displaystyle{ 30^\circ}\) do
poziomu. W jakim czasie przebędzie drogę \(\displaystyle{ 150 cm}\)?. Rozwiązać to samo zadanie dla kuli
jednorodnej

[SlotaWoj]

Walec będzie wykonywał ruch płaski.
Trzeba przyjąć dodatkowo masę walca, jego promień i przyspieszenie ziemskie.

[siwymech]

Walec stacza się z chropowatej równi bez poślizgu ! wykonując jednocześnie ruch postępowy i obrotowy.
Wprowadzamy siły;
-ciężar walca-\(\displaystyle{ G=mg}\),
-w punkcie styku obu ciał siłę tarcia \(\displaystyle{ T}\), której nie znamy!
- reakcję normalną równi - \(\displaystyle{ N}\).
Środek masy walca p.O będzie poruszał się z prędkością (przyśpieszeniem) jak na rys.
...............................................................................................
Do rozw. zagadnienia wykorzystamy dynamiczne równania ruchu;
Dla ruchu postępowego:
- suma rzutów wszystkich sił na kierunek równi-oś x ;
\(\displaystyle{ mg \cdot \sin \alpha -T=m \cdot a _{o}}\), (1)
- suma rzutów wszystkich sił na oś y ;
\(\displaystyle{ N-mg\cos \alpha =0}\), (2)
/Nie ma ruchu w kierunku osi y/
- Dla ruchu obrotowego
\(\displaystyle{ M _{o} =J \cdot \epsilon}\)
Gdzie moment wzgl p.O jest równy;
\(\displaystyle{ M _{o} =T \cdot r}\)
Mamy więc:
\(\displaystyle{ T \cdot r=J \cdot \epsilon}\), (3)

.................................................
Ponadto wobec nadmiaru nieznanych wielkości wykorzystamy;
-pojecie chwilowego środka obrotu, który znajduje sie w p.C, a którego prędkość jest równa zeru, to pozwoli znaleźć prędkość srodka masy walca \(\displaystyle{ v _{o}}\)
\(\displaystyle{ v _{c}=v _{o} -\omega \cdot r=0 \Rightarrow v _{o}=\omega \cdot r}\) ,(4)
- przyśpieszenie punktu O walca;
\(\displaystyle{ a _{o}=\epsilon \cdot r}\), (5)
-momenty bezwładności
dla walca:
\(\displaystyle{ J = \frac{mr ^{2} }{2}}\), (6)
-kuli;
\(\displaystyle{ J= \frac{2}{5}m \cdot r ^{2}}\)
/ Oś J przechodzi przez p.O/
..................................................
1.Z równania (1) otrzymamy przepis na siłę tarcia \(\displaystyle{ T}\):
\(\displaystyle{ T=m(g \cdot \sin \alpha -a _{o})}\),(7)
2.Z równania (3) określimy przyśpieszenie środka masy walca \(\displaystyle{ a _{o}}\):
\(\displaystyle{ a _{o}= \frac{2-r}{2g \cdot \sin \alpha }}\), (8)
3. Teraz możemy dookreślić siłę tarcia \(\displaystyle{ T}\) z przepisu(7)
...................................................
4.Czas staczania walca \(\displaystyle{ t}\) określimy z równania ruchu:
\(\displaystyle{ s= \frac{a _{o} \cdot t ^{2} }{2}}\),
\(\displaystyle{ t= \sqrt{ \frac{2s}{a _{o} } }}\), (9)
.............................................