Pokazać, że funkcja jest mierzalna.
- pawlo392
- Użytkownik
- Posty: 1085
- Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło/Kraków
- Podziękował: 270 razy
- Pomógł: 34 razy
Pokazać, że funkcja jest mierzalna.
Mamy przestrzeń mierzalną \(\displaystyle{ (X,\Sigma, \mu)}\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \RR}\) jest funkcją mierzalną to funkcja \(\displaystyle{ f_A}\) dana wzorem :
\(\displaystyle{ f_A(x)=\begin{cases} -A &\text{jeśli } f(x)<-A\\f(x) &\text{jeśli }|f(x)| \le A \\A &\text{jeśli} f(x)>A \end{cases}}\)
jest mierzalna.
\(\displaystyle{ f_A(x)=\begin{cases} -A &\text{jeśli } f(x)<-A\\f(x) &\text{jeśli }|f(x)| \le A \\A &\text{jeśli} f(x)>A \end{cases}}\)
jest mierzalna.
Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.
Zapisz tę funkcję jako coś typu \(\displaystyle{ \chi_{U_1}(x)f(x)+\chi_{U_2}|f(x)|+\chi_{U_3}f(x).}\) Moduł funkcji mierzalnej jest mierzalny, iloczyn funkcji mierzalnych jest mierzalny, to samo z sumą.
Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.
A wiesz co to jest \(\displaystyle{ \chi_B}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10222
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.
Nie da się. Na przykład jeśli \(\displaystyle{ A = \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ f(x) = x,}\) to \(\displaystyle{ f_A(1) = \frac{1}{2},}\) a powyższa formuła zawsze da liczbę całkowitą.szw1710 pisze:Zapisz tę funkcję jako coś typu \(\displaystyle{ \chi_{U_1}(x)f(x)+\chi_{U_2}|f(x)|+\chi_{U_3}f(x).}\)
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Pokazać, że funkcja jest mierzalna.
Nie zawsze da liczbe całkowita. Szw1710 miał na mysli - \(\displaystyle{ \chi_{U_1}(x) \cdot f(x)+\chi_{U_2}(x) \cdot |f(x)|+\chi_{U_3}(x) \cdot f(x).}\)
Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.
Generalnie chodzi o sprytny zapis funkcji określonej kilkoma wzorami. W informatyce robi się to formułą logiczną. W matematyce robi za nią funkcja charakterystyczna, której gdyby przyjrzeć się bliżej, bardzo blisko do logiki.
Proponuję zobaczyć jak działa funkcja \(\displaystyle{ h(x)=\chi_U(x)f(x)+\chi_V(x)g(x)}\). Na wykresie. Wtedy można dostrzec ideę tego co proponuję. To absolutny standard w teorii miary.
Proponuję zobaczyć jak działa funkcja \(\displaystyle{ h(x)=\chi_U(x)f(x)+\chi_V(x)g(x)}\). Na wykresie. Wtedy można dostrzec ideę tego co proponuję. To absolutny standard w teorii miary.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10222
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Pokazać, że funkcja jest mierzalna.
Dla \(\displaystyle{ x=1}\) - zawsze (tzn. niezależnie od zbiorów \(\displaystyle{ U_1, U_2, U_3}\)). Więc nie będzie równe \(\displaystyle{ f_A(1).}\)leg14 pisze:Nie zawsze da liczbe całkowita.