Granica ciągu

[adysio]

Proszę o obliczenie twgo przykładu
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{ { n^2 -5} }{10n+1}}\)

[SnowBird]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n ^{2} (1 - \frac{5}{n ^{2}) } }{n ^{2} ( \frac{10}{n}+ \frac{1}{n ^{2}) } } = \lim_{ n\to \infty } \frac{1- \frac{5}{n ^{2} } }{ \frac{10}{n}+ \frac{1}{ n^{2} } } = \infty}\)

[adysio]

A jeśli wyciągniemy \(\displaystyle{ n^2}\) przed nawias i wyjdzie \(\displaystyle{ 1}\) to to jest źle?

[piasek101]

A jeśli wyciągniemy n^2 przed nawias i wyjdzie 1 to to jest źle?

Nie bardzo wiadomo o co pytasz.

Jeśli potęga (n) z licznika jest większa niż z mianownika (a tak piszesz) to granicą jest nieskończoność (tu z plusem).

[Dasio11]

A jeśli wyciągniemy \(\displaystyle{ n^2}\) przed nawias i wyjdzie \(\displaystyle{ 1}\) to to jest źle?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2-5}{10n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 \left( 1-\frac{5}{n^2} \right)}{n^2 \left( \frac{10}{n}+\frac{1}{n^2} \right)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{5}{n^2} }{\frac{10}{n}+\frac{1}{n^2}} = \left[ \frac{1}{0^+} \right] = \infty}\)

Licznik dąży do \(\displaystyle{ 1,}\) ale mianownik dąży do \(\displaystyle{ 0}\) (od dodatniej strony), więc i tak wychodzi nieskończoność.