Suma rozłączna zbiorów i relacji, częściowy porządek

[adda16]

Niech \(\displaystyle{ \left\langle X,r\right\rangle}\) i \(\displaystyle{ \left\langle Y,s\right\rangle}\) będą niepustymi zbiorami częściowo uporządkowanymi. Pokaż, że \(\displaystyle{ \left\langle X \oplus Y,r \oplus s\right\rangle}\) jest zbiorem częściowo uporządkowanym bez elementu największego.


Jeśli \(\displaystyle{ \left\langle X \oplus Y,r \oplus s\right\rangle}\) jest zbiorem częściowo uporządkowanym to znaczy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in X \oplus Y}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle \in r}\) lub \(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle \in s}\)? Czy jakoś inaczej? Nie rozumiem tego do końca.

[Jan Kraszewski]

Co to jest \(\displaystyle{ \oplus}\) ?

JK

[adda16]

Suma rozłączna.

[Jan Kraszewski]

No to chodzi, że stawiasz te zbiory "obok siebie": elementy z \(\displaystyle{ X}\) są uporządkowane przez \(\displaystyle{ r}\), elementy z \(\displaystyle{ Y}\) są uporządkowane przez \(\displaystyle{ s}\) i żaden element \(\displaystyle{ X}\) nie jest w relacji z żadnym elementem z \(\displaystyle{ Y}\) (gdybyś myślał o diagramach Hassego, to po prostu narysowałbyś dwa diagramy obok siebie).

Formalne sprawdzenie, że \(\displaystyle{ r\oplus s}\) jest porządkiem jest dość żmudne (przypadki), ale intuicyjnie oczywiste. To, że nie ma elementu największego też jest oczywiste - gdyby był, to byłby albo w \(\displaystyle{ X}\) i wtedy byłby większy od elementów \(\displaystyle{ Y}\), a nie jest, bo są nieporównywalne i sprzeczność, albo byłby elementem \(\displaystyle{ Y}\) i sprzeczność analogicznie.

JK