Nierówność logarytmiczna

[poetaopole]

Wykaż, że \(\displaystyle{ \log _{4}5+\log _{5}4>\log _{5}6 +\log _{6}5}\).

[Premislav]

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x+\frac 1 x}\). Nietrudno pokazać, że jest ona rosnąca dla \(\displaystyle{ x>1}\): mamy \(\displaystyle{ f'(x)=1-\frac{1}{x^2}>0}\) dla \(\displaystyle{ x>1}\) (daje się to też chyba pokazać bez rachunku różniczkowego, ale ja nie widzę niczego złego w rachunku różniczkowym).
Zauważmy, że po lewej stronie Twojej nierówności mamy
\(\displaystyle{ f\left( \log_4 5\right)}\), zaś po prawej \(\displaystyle{ f\left( \log_5 6\right)}\)
Pozostaje sprawdzić, że \(\displaystyle{ \log_4 5>\log_5 6>1}\), co zostawiam jako łatwe ćwiczenie dla Czytelnika.

[poetaopole]

Dzięki, dzięki, z def. f. rosnącej też łatwo pokazać, ale może komuś uda się pochwalić ekwilibrystyką na wzorach logarytmicznych? Bo jam mam nawet kłopot z wykazaniem, że \(\displaystyle{ \log _{4}5>\log _{5}6}\), a Premislav twierdzi, że to łatwe ćwiczenie dla czytelnika. No to łatwe czy nie?

[bosa_Nike]

Wydaje mi się, że może być niezmiernie trudno obejść się bez paru własności funkcji logarytmicznej. Dotyczy to również monotoniczności. Ekwilibrystyka polegałaby na sprowadzeniu do wspólnej podstawy, np. do logarytmów naturalnych (bo się je krócej zapisuje). O ile mnie rachunki nie mylą, to mielibyśmy \(\displaystyle{ (\ln 6-\ln 4)\left(\frac{\ln^2 5}{\ln 6\cdot\ln 4}-1\right)>0}\), więc po skorzystaniu z monotoniczności, ewentualnie schowanej w stwierdzeniu, że dla \(\displaystyle{ x>1}\) mamy \(\displaystyle{ \ln x>0}\), pozostałoby do udowodnienia \(\displaystyle{ \ln^25>\ln 6\cdot\ln 4}\), tzn. to, czego Ci brakuje.

\(\displaystyle{ \ln 5\cdot\ln 5=\ln\left(4\cdot\frac{5}{4}\right)\cdot\ln\left(6\cdot\frac{5}{6}\right)=\ln 4\cdot\ln 6+\ln 6\cdot\ln\frac{5}{4}+\ln 5\cdot\ln\frac{5}{6}>\\ \\ \ln 4\cdot\ln 6+\ln 5\cdot\ln\frac{5}{4}+\ln 5\cdot\ln\frac{5}{6}=\ln 4\cdot\ln 6+\ln 5\cdot\ln\left(\frac{5}{4}\cdot\frac{5}{6}\right)>\ln 4\cdot\ln 6}\)

Jak widać, to się również opiera na monotoniczności i działaniach na logarytmach, czyli faktycznie na własnościach funkcji logarytmicznej.

[Premislav]

W sumie może nie powinienem pisać „łatwe", ocena trudności jest subiektywna, niektórzy użytkownicy uznaliby za łatwe zadania, których nie rozwiązałbym nawet po tygodniu namysłu.
Ja myślałem o czymś takim:
\(\displaystyle{ 1=\left( \frac 2 2\right)^2=\left( \frac {\log_5 25} 2\right)^2 >\left( \frac{\log_5 24}{2} \right)^2 =\left( \frac{\log_5 4+\log_5 6}{2} \right)^2 \ge \log_5 4\log_5 6}\)
a więc, z uwagi na \(\displaystyle{ \log_5 4>0}\), mamy po podzieleniu stronami
\(\displaystyle{ \frac{1}{\log_5 4} >\log_5 6}\)
co po skorzystaniu ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu po lewej stronie daje nam:
\(\displaystyle{ \log_4 5>\log_5 6}\)
A nierówność \(\displaystyle{ \log_5 6>1}\) (ogólnie \(\displaystyle{ \log_a b>1}\) gdzie \(\displaystyle{ 1<a<b}\)) znana jest w pierwszej czy tam drugiej klasie szkoły średniej.

[poetaopole]

O! To jest WIELKIE Premislav! Już przeszedłeś do historii matematyki szkolnej! Wielkie i piękne. Podwójne oszacowanie! Brawo!................................................................................................................................. Oj! a jednak coś mi tu nie gra, chyba znalazłem słaby punkt oszacowania albo czegoś tu nie rozumiem... Skąd wziąłeś oszacowanie, że \(\displaystyle{ \log _{5} \sqrt{24} \cdot \log _{5} \sqrt{24}>\log _{5}4 \cdot \log _{5}6}\). Jest prawdziwe, ale... nie wytłumaczone... Wytłumaczysz nam?

[Premislav]

Ładniej to widać w tej formie, którą napisałem.
Ze wzoru na logarytm iloczynu mamy
\(\displaystyle{ \log_5 24=\log_5 4+\log_5 6}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \left( \frac{\log_5 24}{2} \right)^2 =\left( \frac{\log_5 4+\log_5 6}{2} \right)^2}\),
co zresztą powyżej napisałem.
Następnie skorzystałem z takiej nierówności, prawdziwej dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in \RR}\):
\(\displaystyle{ \left( \frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab}\)
- nierówność ta po wykonaniu potęgowania z lewej strony i pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ 4}\) oraz przerzuceniu wszystkiego na lewą stronę zwija się do \(\displaystyle{ (a-b)^2\ge 0}\), co jest już oczywiste.
Pozwoliłem sobie zastosować tę nierówność bez dalszego komentarza, bo jest dość znana i łatwa.
Użyłem po prostu tej nierówności \(\displaystyle{ \left( \frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab}\)
dla \(\displaystyle{ a=\log_5 4, \ b=\log_5 6}\).
Nie wiem wprawdzie, czy nie ironizowałeś, ale na wszelki wypadek piszę. Najwyżej dałem się nabrać, nei po raz pierwszy i nie po raz ostatni.

[poetaopole]

Nie ironizowałem. Zaraz to przeanalizuję, bo dopiero się obudziłem, ale już na pierwszy rzut oka widać, że jest jeszcze PIĘKNIEJ niż myślałem wcześniej. Lecę po kawę i długopis, bo ja muszę sobie wszystko samodzielnie rozpisać (jak krowie na rowie). DZIĘKUJĘ

-- 9 lis 2017, o 08:07 --

Jest ŚLICZNIE! Gdybyś mi napisał, że podnosisz do kwadratu nierówność pomiędzy średnimi, załapałbym od razu Zastanawiam się, że czy nie dałoby się jej jakoś użyć wcześniej (nierówności pomiędzy średnimi), żeby uniknąć wchodzenie w ANALIZĘ MATEMATYCZNĄ (mam na myśli badanie monotoniczności funkcji - czy to z pochodnej, czy to z definicji). Dowód byłby wtedy o wiele bardziej elegancki. Spróbujesz?-- 9 lis 2017, o 20:41 --Dałem radę sam

[a4karo]

Jak znalazłeś bardziej elegancki dowód, to podziel się nim z nami.-- 10 lis 2017, o 06:04 --Funkcja \(\displaystyle{ h:(e,\infty)\to\RR}\) dana wzorem \(\displaystyle{ h(x)=\ln\log_x(x+1)=\ln\frac{\ln(x+1)}{\ln x}=\ln\ln(x+1)-\ln\ln x}\) maleje, bo
\(\displaystyle{ h(x)=\int_x^{x+1}\frac{dt}{t\ln t}}\), a funkcja podcałkowa jest malejąca.
Zatem \(\displaystyle{ e^{h(x)}=\log_x(x+1)}\) też jest malejąca.

Stąd \(\displaystyle{ \log_4 5>\log_5 6}\)

[bosa_Nike]

Jedyne, co mnie przychodzi do głowy, to przepisanie propozycji Premislava w nieco inny sposób:

\(\displaystyle{ \ln^25=\ln^2\left(\frac{4+6}{2}\right)>\ln^2\sqrt{6\cdot 4}=\frac{1}{4}\left(\ln 6+\ln 4\right)^2>\ln 6\cdot\ln 4}\)

Nie jest to natomiast ani istotnie różne od podanego wyżej rozwiązania, ani też nie omija korzystania z monotoniczności funkcji logarytmicznej. W ogóle niezbyt mogę sobie wyobrazić szacowanie wielkości obłożonych logarytmem bez korzystania z tej własności.

[poetaopole]

Napiszę wieczorem, bo teraz się uczę... to zwykła algebra logarytmów, bez analizy matematycznej, tzn. monotoniczności f. logarytmicznej. Chodzi o sam początek zadania...

-- 10 lis 2017, o 18:54 --

\(\displaystyle{ \log_{4}5+\log _{5}4>\log _{5}6 +\log _{6}5}\).
\(\displaystyle{ \log_{5}4-\log _{5}6>\log _{6}5 -\log _{4}5}\).
\(\displaystyle{ \log_{5} \frac{2}{3} > \frac{\log_{5} \frac{2}{3}}{\log_{5}6 \cdot \log_{5}4}}\).
\(\displaystyle{ \log_{5}6 \cdot \log_{5}4}<1}\).
A dalej już wszystko wiecie - prześliczny dowód PREMiSLAVA

-- 10 lis 2017, o 19:24 --

Ale to nie koniec... Wykorzystując genialne oszacowanie Premislava można zaproponować śliczną nierówność, którą ogłosiła koleżanka z konkurencyjnego portalu, a mianowicie: \(\displaystyle{ \log(x-1) \cdot \log(x+1)<\log^2x}\), dla \(\displaystyle{ x>1}\), co moim skromnym zdaniem jest już jakimś tam odkryciem matematycznym.

[bosa_Nike]

Myślę, że zadaniem trudniejszym byłoby znalezienie najmniejszego takiego \(\displaystyle{ x_0}\), że dla dowolnych \(\displaystyle{ x\ge x_0}\) oraz \(\displaystyle{ 0\le y<x}\) zachodzi \(\displaystyle{ \ln^2x\ge\ln(x-y)\cdot\ln(x+y)}\).


Niestety, nieważne na jakim etapie się z własności korzysta. To nie jest tak, że jak raz ukradł, to nie złodziej. Tu powyżej też masz \(\displaystyle{ \log_5\frac{2}{3}<0\iff\log_52<\log_53}\), a nawet gdyby to przyjąć jako prawdę objawioną, to końcówki w ten sposób nie obronisz.

[a4karo]

Myślę, że zadaniem trudniejszym byłoby znalezienie najmniejszego takiego \(\displaystyle{ x_0}\), że dla dowolnych \(\displaystyle{ x\ge x_0}\) oraz \(\displaystyle{ 0\le y<x}\) zachodzi \(\displaystyle{ \ln^2x\ge\ln(x-y)\cdot\ln(x+y)}\).

.

To zadanie akurat nie jest trudne:
Logarytmujemy obie strony i dostajemy warunek wklęsłości funkcji \(\displaystyle{ \ln\ln x}\) (okreslonej dla \(\displaystyle{ x>1}\)). Policzenie jej drugiej pochodnej przekonuje nas, że jest ona rzeczywiście wklęsła .

Trzeba tylko trochę zmniejszyć oczekiwania: \(\displaystyle{ 1<x-y<x}\)

[poetaopole]

Ja bym jednak nadal bronił elementarnej algebry przed naporem analizy matematycznej. Dzielimy obustronnie przez liczbę niewątpliwie ujemną i zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny i nie musimy znać wykresu funkcji logarytmicznej - dojdziemy na piechotę do celu, nawet bez butów... Poza tym tak sobie myślę, że w matematyce to jest najpiękniejsze, co udaje się wytłumaczyć na gruncie matematyki elementarnej. Czemu? Bo jest zrozumiałe przez prawie wszystkich, a przynajmniej może takie być.

[Premislav]

a4karo, \(\displaystyle{ \ln \ln x}\) to jest złożenie funkcji wklęsłej i rosnącej z samą sobą, więc nie ma potrzeby liczenia jej drugiej pochodnej. Szach mat.