obliczyć całkę
-
Pasjonatka91
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 5 sty 2016, o 23:28
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
obliczyć całkę
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } |x|^p e^{-\frac{x^2}{2}} dx}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ p\ge 0}\)
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: obliczyć całkę
Można skorzystać z parzystości funkcji podcałkowej, by otrzymać
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } |x|^p e^{-\frac{x^2}{2}} dx=2 \int_{0}^{\infty}x^p e^{- \frac{x^2}{2} }\,\dd x=2 \int_{0}^{+\infty}2^{\frac{p-1} 2}x\left( \frac{x^2}{2}\right)^{\frac {p-1} 2} e^{-\frac{x^2}{2}}\,\dd x}\)
Następnie podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{x^2}{2}}\) daje nam:
\(\displaystyle{ 2^{\frac{p+1}{2}} \int_{0}^{+\infty}t^{\frac {p-1} 2}e^{-t}\,\dd t=\\=2^{\frac{p+1}{2}}\Gamma\left( \frac{p+1}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } |x|^p e^{-\frac{x^2}{2}} dx=2 \int_{0}^{\infty}x^p e^{- \frac{x^2}{2} }\,\dd x=2 \int_{0}^{+\infty}2^{\frac{p-1} 2}x\left( \frac{x^2}{2}\right)^{\frac {p-1} 2} e^{-\frac{x^2}{2}}\,\dd x}\)
Następnie podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{x^2}{2}}\) daje nam:
\(\displaystyle{ 2^{\frac{p+1}{2}} \int_{0}^{+\infty}t^{\frac {p-1} 2}e^{-t}\,\dd t=\\=2^{\frac{p+1}{2}}\Gamma\left( \frac{p+1}{2} \right)}\)