Witam,
wie ktoś może jak zabrać się do policzenia tej całki? Z góry dziękuje
\(\displaystyle{ \int_{( \frac{a+1}{2} )}^{0} \sqrt{x(2a+1-x} dx}\)
Jak oblicyś całke z parametrem
Jak oblicyś całke z parametrem
Ostatnio zmieniony 4 lis 2017, o 22:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Jak oblicyś całke z parametrem
Ta całka jest pewnie banalna, ale będzie lepiej, gdy uzupełnisz nawiasy. Wygląda na to jednak, że Premislav wyciągnął zbyt duże działo.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Jak oblicyś całke z parametrem
A to działo nie działa? Jeśli jednak działa, to nie jest zbyt duże (oczywiście można uznać to za przerost formy nad treścią czy niepotrzebne kombinowanie, ale to kwestia gustu). Po co użerać się z wymyślaniem jakichś szczególnych przypadków.
Można też podstawieniem trygonometrycznym:
gdy mamy całkę typu
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{bx-ax^2}\,\dd x}\), gdzie \(\displaystyle{ a>0, \ b\neq 0}\), to możemy zapisać
\(\displaystyle{ bx-ax^2=a\left( \frac b a x-x^2\right)= \frac{b^2}{4a} -a\left( x-\frac{b}{2a}\right)^2}\)
i podstawić \(\displaystyle{ x-\frac{b}{2a}=\frac{b}{2a}\sin t}\), czy coś w tym stylu.
Można też podstawieniem trygonometrycznym:
gdy mamy całkę typu
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{bx-ax^2}\,\dd x}\), gdzie \(\displaystyle{ a>0, \ b\neq 0}\), to możemy zapisać
\(\displaystyle{ bx-ax^2=a\left( \frac b a x-x^2\right)= \frac{b^2}{4a} -a\left( x-\frac{b}{2a}\right)^2}\)
i podstawić \(\displaystyle{ x-\frac{b}{2a}=\frac{b}{2a}\sin t}\), czy coś w tym stylu.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Jak oblicyś całke z parametrem
Wystarczy całkowanie przez części
Z podstawienia Eulera mielibyśmy
\(\displaystyle{ \int{\sqrt{bx-ax^2}\mbox{d}x}\\
\sqrt{bx-ax^2}=xt\\
bx-ax^2=x^2t^2\\
b-ax=xt^2\\
b=ax+xt^2\\
b=x\left( a+t^2\right)\\
x=\frac{b}{a+t^2} \\
xt=\frac{bt}{a+t^2}\\
\mbox{d}x=\frac{0 \cdot \left( a+t^2\right)-2bt }{\left( a+t^2\right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x=-\frac{2bt}{\left( a+t^2\right)^2} \mbox{d}t\\
-\int{\frac{bt}{a+t^2} \cdot \frac{2bt}{\left( a+t^2\right)^2} \mbox{d}t}\\
-\int{\frac{2b^2t^2}{\left( a+t^2\right)^3} \mbox{d}t}\\}\)
Z podstawienia Eulera mielibyśmy
\(\displaystyle{ \int{\sqrt{bx-ax^2}\mbox{d}x}\\
\sqrt{bx-ax^2}=xt\\
bx-ax^2=x^2t^2\\
b-ax=xt^2\\
b=ax+xt^2\\
b=x\left( a+t^2\right)\\
x=\frac{b}{a+t^2} \\
xt=\frac{bt}{a+t^2}\\
\mbox{d}x=\frac{0 \cdot \left( a+t^2\right)-2bt }{\left( a+t^2\right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x=-\frac{2bt}{\left( a+t^2\right)^2} \mbox{d}t\\
-\int{\frac{bt}{a+t^2} \cdot \frac{2bt}{\left( a+t^2\right)^2} \mbox{d}t}\\
-\int{\frac{2b^2t^2}{\left( a+t^2\right)^3} \mbox{d}t}\\}\)