standard error, przedziały ufności, p-wartość - jak?

[ReallyGrid]

Zadanie: W pewnym eksperymencie badaną próbką było \(\displaystyle{ N=37}\) roślin. Po pięciu dniach zmierzono wzrost tych roślin i otrzymano rezultat:

\(\displaystyle{ \bar{x} = 7{,}42}\) cm (średnia)
\(\displaystyle{ s^2 = 0{,}49^2}\) cm (wariancja)

a) Zakładając, że wariancja populacji jest nieznana, jaki jest standardowy błąd średniej?

b) Jaki jest rozkład \(\displaystyle{ \frac{\bar{Z} - \mu}{s/\sqrt{N}}}\)?

c) Wyznacz 95% przedział ufności dla średniej.

d) Wyznacz 99% przedział ufności dla średniej.

e) Jaka jest wartość krytyczna (na poziomie istotności 1%) dla testowanej hipotezy z \(\displaystyle{ H_0\colon\mu=7{,}7}\) cm oraz \(\displaystyle{ H_A\colon\mu<7{,}7}\) cm?

f) Jaka jest p-wartość dla testowanej hipotezy z punktu e)?

g) Jaka jest interpretacja 99% przedziału ufności?


PS. Czy wzory na przedziały ufności w punktach c) i d) się różnią że są podane raz 95% a raz 99%?

Proszę o jakieś wskazówki jak się do tego zabrać, z czego skorzystać i jak bo nic nie rozumiem. Gdyby w podpunkcie a) założenie byłoby że wariancja jest znana to umiałbym to zrobić ale tao nie wiem za co się zabrać

[janusz47]

Masz swoje własne przemyślenia odnośnie tego zadania?

[ReallyGrid]

Obawiam się, że tylko punkt c) i d) potrafiłbym zrobić. Znalazłem takie wzory:

\(\displaystyle{ \left[\bar{x} - Z_{95} \frac{\sigma}{\sqrt{N}}, \bar{x} + Z_{95} \frac{\sigma}{\sqrt{N}}\right]}\) - 95% przedział ufności
\(\displaystyle{ \left[\bar{x} - Z_{99} \frac{\sigma}{\sqrt{N}}, \bar{x} + Z_{99} \frac{\sigma}{\sqrt{N}}\right]}\) - 99% przedział ufności

Gdzie \(\displaystyle{ \sigma}\) to pierwiastek z wariancji. \(\displaystyle{ Z_{95}}\) albo odczytam z tablic albo z funkcji qnorm(.975). Podobnie z \(\displaystyle{ Z_{99}}\). Reszty ni w ząb nie rozumiem.

Najgorsze jest to, ze ja to muszę jeszcze w R Studio napisać Może ktoś pomóc?

[janusz47]

a)

\(\displaystyle{ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{N-1}}.}\)

b)

Statystyka ma rozkład Studenta z \(\displaystyle{ 36}\) stopniami swobody.

c), d)

Przedziały ufności w mianownikach nie \(\displaystyle{ \sqrt{N}}\) tylko \(\displaystyle{ \sqrt{ N-1}}\) i kwantyle \(\displaystyle{ Z_{\alpha}}\) nie z rozkładu normalnego "qnorm" tylko Studenta " qt" odpowiednio:

Program R

\(\displaystyle{ qt(0.95, 36),}\) i \(\displaystyle{ qt(0.99, 36).}\)

e)

Odczytujemy z tablic , albo programu komputerowego wartość \(\displaystyle{ k}\) dla której:

\(\displaystyle{ P( |T_{36}|\geq k ) = 0.02.}\)

Program R

\(\displaystyle{ qt(0.02, 36).}\)

f)

Najmniejsza wartość poziomu istotności testu \(\displaystyle{ \alpha,}\) która prowadzi do odrzucenia hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}.}\)

\(\displaystyle{ p( \textbf x)= P(|\overline{X} - 7,7|\geq |7,42 - 7,7|\mu = 7,7)= P(|Z|\geq 0,28)=...}\)

g)

\(\displaystyle{ P_{\theta}(T_{1}\leq \theta \leq T_{2})= 0,99.}\)

Przedział \(\displaystyle{ [ T_{1}, T_{2} ]}\) jest tym przedziałem ufnośc,i który z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0.99}\) pokryje nieznaną wartość parametru \(\displaystyle{ Q}\) i nie tylko próby \(\displaystyle{ N}\) elementowej.

[ReallyGrid]

janusz47 wielkie dzięki, ratujesz mi skórę , tylko powiedz mi dlaczego w puntach a), c) i d) jest \(\displaystyle{ \sqrt{N-1}}\) zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{N}}\)? We wszystkich stronach internetowych gdzie szukałem rozwiązań było użyte \(\displaystyle{ \sqrt{N}}\).

[janusz47]

Nie zagłębiając się w teorię statystyki


-w populacji dzielimy przez \(\displaystyle{ N,}\)

- w próbie dzielimy przez \(\displaystyle{ N - 1.}\)

Można powiedzieć, że \(\displaystyle{ N - 1}\) stosowane jest w celu uzyskania jak najbardziej wiarygodnej wartości - próba to tylko element (wycinek) populacji.