Oblicz granicę korzystając z twierdzenia o 3 ciągach
\(\displaystyle{ a_{n} = \left( \sqrt{3} - \cos \frac{ \pi }{n} \right) ^{n}}\)
Twierdzenie o 3 ciągach
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 3 lis 2017, o 18:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 8 razy
Twierdzenie o 3 ciągach
Ostatnio zmieniony 7 lis 2017, o 20:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Twierdzenie o 3 ciągach
Łatwo wykazać, że
\(\displaystyle{ 1\ge \cos x \ge 1-\frac{x^2}{2}}\) w dodatnich.
Zatem
\(\displaystyle{ \sqrt{3}-1+ \frac{\pi^2}{2n^2} \ge \sqrt{3}-\cos \frac{\pi}{n} \ge \sqrt{3}-1}\)
-- 7 lis 2017, o 20:59 --
Można inaczej, prościej: zauważmy, że ciąg
\(\displaystyle{ a_n=\cos \frac{\pi}{n}}\) jest rosnący,
więc dla \(\displaystyle{ n \ge 6}\) mamy
\(\displaystyle{ 1\ge \cos \frac{\pi}{n} \ge \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) itd.
\(\displaystyle{ 1\ge \cos x \ge 1-\frac{x^2}{2}}\) w dodatnich.
Zatem
\(\displaystyle{ \sqrt{3}-1+ \frac{\pi^2}{2n^2} \ge \sqrt{3}-\cos \frac{\pi}{n} \ge \sqrt{3}-1}\)
-- 7 lis 2017, o 20:59 --
Można inaczej, prościej: zauważmy, że ciąg
\(\displaystyle{ a_n=\cos \frac{\pi}{n}}\) jest rosnący,
więc dla \(\displaystyle{ n \ge 6}\) mamy
\(\displaystyle{ 1\ge \cos \frac{\pi}{n} \ge \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 3 lis 2017, o 18:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 8 razy
Re: Twierdzenie o 3 ciągach
Dzięki, mam jeszcze jedno zadanie z którym nie mogę sobie poradzić, napiszę tu żeby nie zakładać nowego tematu (polecenie to samo)
\(\displaystyle{ a_{n} = \left( \frac{n+1}{2n} \right) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = \left( \frac{n+1}{2n} \right) ^{n}}\)
Ostatnio zmieniony 7 lis 2017, o 22:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Następnym razem załóż nowy wątek.
Powód: Poprawa wiadomości. Następnym razem załóż nowy wątek.
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 3 lis 2017, o 18:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 8 razy
Twierdzenie o 3 ciągach
No właśnie nie mam pomysłu na to ograniczenie, jeśli mianownik zapisze jako \(\displaystyle{ n}\), lub licznik jako \(\displaystyle{ n + n}\) to \(\displaystyle{ p}\) nie będzie mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\)