Własność wykazana z aksjomatów

[forget24]

Możemy spotkać się z aksjomatami liczb rzeczywistych z użyciem nierówności ostrej jak i nieostrej.
W przypadku tej drugiej aksjomaty porządku to:
\(\displaystyle{ \forall x,y,z \in \RR}\) zachodzi
\(\displaystyle{ x \le y \vee y \le x \\
x \le y \wedge y \le x \Rightarrow y=x \\
x \le y \wedge y \le z \Rightarrow x \le z \\
x \le y \Rightarrow x+z \le y+z \\
0 \le x \wedge 0 \le y \Rightarrow 0 \le xy}\)

Wówczas, zadajemy \(\displaystyle{ x<y \Leftrightarrow x \le y \wedge x \neq y}\).

Jak możemy otrzymać następującą własność:
\(\displaystyle{ x<y \wedge z>0 \Rightarrow xz<yz}\) ?

(w przypadku aksjomatyki z nierównością ostrą, powyższa własność jest jednym z aksjomatów)

[Rozbitek]

Dowód:
Niech \(\displaystyle{ z > 0 \wedge x < y}\), dla każdego \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\) oraz \(\displaystyle{ z}\) dodatnie rzeczywiste.

Wówczas z aksjomatu:

\(\displaystyle{ x \le y \Rightarrow x+z \le y+z}\)

wynika, że:
\(\displaystyle{ x - y \ge 0}\) i \(\displaystyle{ z \ge 0}\).
Teraz korzystając z aksjomatu:

\(\displaystyle{ 0 \le x \wedge 0 \le y \Rightarrow 0 \le xy}\)

możemy powiedzieć, że:
\(\displaystyle{ x-y \ge 0 \wedge z \ge 0 \Rightarrow 0 \ge z(x-y)}\)

Tutaj musimy skorzystać z aksjomatu liczb rzeczywistych, którego nie przedstawiłeś (bo nie jest aksjomatem porządku), a mianowicie z rozdzielności mnożenia względem dodawania, pozwolę sobie go nie przedstawiać, zastosowanie będzie trywialne:
\(\displaystyle{ x-y \ge 0 \wedge z \ge 0 \Rightarrow 0 \ge zx-zy}\)

Korzystając ponownie z aksjomatu:

\(\displaystyle{ x \le y \Rightarrow x+z \le y+z}\)

dostajemy:
\(\displaystyle{ yz \ge xz}\).

Więc korzystając z: \(\displaystyle{ x<y \Leftrightarrow x \le y \wedge x \neq y}\), możemy stwierdzić, że prawdą jest:

\(\displaystyle{ yz > xz}\), gdy \(\displaystyle{ yz \neq xz}\).

Teraz wypadłoby jeszcze udowodnić, że \(\displaystyle{ yz \neq xz}\) to prawda. Poradzisz sobie mając powyższą zależność?

[forget24]

Tak, bardzo dziękuję.