Rozwiązanie wielomianu siódmego stopnia

[hwite]

\(\displaystyle{ x^{7}+3x^{5}+1=0}\)

Czy wielomian ma rozwiązania i jeżeli ma to jakie.
Nie da się pogrupować, nic wyłączyć przed nawias, ani nic. Może jakoś wzorem skróconego mnożenia, ale nie widzę.

EDIT: Czy ma rozwiązania rzeczywiste, powinno być.

[Premislav]

W jakim kontekście pojawiła się potrzeba rozważenia czegoś takiego? To równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste (jest ono gdzieś w przedziale \(\displaystyle{ (-1,0)}\)), co wynika z tw. Darboux i z analizy znaku pochodnej. Bardzo jednak wątpię, by dało się to jakkolwiek sensownie wyznaczyć, pozostaje przybliżenie z użyciem komputera. Mnie się to skojarzyło tak

[Rozbitek]

\(\displaystyle{ x^5(x^2 + 3) = -1}\)
jako, że niemożliwym jest, aby \(\displaystyle{ x = 0}\), zrobię coś nieładnego:
\(\displaystyle{ x^2 + 3 = \frac{-1}{x^5}}\)
\(\displaystyle{ (x^2 + 3) - \frac{1}{x^5} = 0}\)
Co jest niemożliwe.

Więc nie wiem gdzie zrobiłem błąd, ale mi wychodzi, że nie ma rozwiązań rzeczywistych.

[Premislav]

\(\displaystyle{ (x^2 + 3) - \frac{1}{x^5} = 0}\)
Co jest niemożliwe.

A to niby czemu? Nie uzasadniłeś tego w żaden sposób.
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^{7}+3x^{5}+1}\) jako funkcja wielomianowa jest ciągłą, a więc ma własność Darboux, ponadto \(\displaystyle{ f(-1)=-3<0}\) oraz \(\displaystyle{ f(0)=1>0}\). Zatem w przedziale \(\displaystyle{ (-1,0)}\) istnieje takie \(\displaystyle{ x_0}\), że \(\displaystyle{ f(x_0)=0}\).

[Rozbitek]

Widzę, to tak:\(\displaystyle{ (x^2 + 3) - \frac{1}{x^5} = 0}\)
\(\displaystyle{ x^2 - \frac{1}{x^5} = -3}\)

\(\displaystyle{ x^2 \ge 0, \frac{1}{x^5} \ge -1}\)
W związku z czym jest to niemożliwe.

EDIT: Widzę błąd. Nie wziąłem pod uwagę, że \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Sorry.

[hwite]

Zadanie pojawiło się na pierwszych ćwiczeniach z analizy, przy liście zadań z logiki i teorii mnogości.
Zadanie brzmiało określ prawdziwość zdań i jeden z podpunktów brzmiał:
"równanie -||- ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste"

Rzecz w tym że pominęliśmy ten podpunkt bo początkowe były łatwe,
a kiedy przyjrzałem się zadaniu to okazało się że nie potrafię go rozwiązać.

Przytoczonych twierdzeń nie znam, ale z racji że wystarczy stwierdzić czy istnieje rozwiązanie to tw. Darboux powinno wystarczyć.

Po prostu dla siebie chciałem wiedzieć jak to rozwiązać, ale jeśli musi się to sprowadzać do metod numerycznych to trudno. WolframAlpha mówi że \(\displaystyle{ x_{0} \approx -0,774}\)

Dzięki za pomoc.

[Jan Kraszewski]

To, że ma tylko jedno rozwiązanie jest akurat proste - ta funkcja jest ściśle rosnąca jako suma funkcji ściśle rosnących.

JK