sprawdz czy ciag jest ograniczony?

[spejson_]

sprawdz czy ciag jest ograniczony z gory,z dolu,czy jest ograniczony?

\(\displaystyle{ a _{n} = \sqrt[n]{2 ^{n} -1}}\)

Dzieki za kazda odp.

[Premislav]

\(\displaystyle{ 2\ge \sqrt[n]{2^n-1}\ge 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\).
Umiesz to udowodnić?

[spejson_]

ja zrobilem podobnie tj.

\(\displaystyle{ 0 \le \sqrt[n]{2 ^{n} + 2 ^{n} }}\)

i potem wychodzi

\(\displaystyle{ 0 \le a _{n} \le 4}\)

Ty zrobiles to doklaniej ale zastanawialem sie czy nie istnieje jakas uniwersalna metoda tzn tutaj musze jakby na to wpasc co moze sie nie zawsze udac. A jest lepszy sposob np jak wykozystac ze ciag jest zbieżny?

[Premislav]

Uniwersalnej metody raczej nie ma. No tak, gdybyś udowodnił, że ten ciąg jest zbieżny (tj. ma granicę właściwą), co też nie jest trudne, to z automatu wiesz, że ciąg ten jest też ograniczony (aczkolwiek oczywiście istnieją ograniczone ciągi niezbieżne).

[a4karo]

ja zrobilem podobnie tj.

\(\displaystyle{ 0 \le \sqrt[n]{2 ^{n} + 2 ^{n} }}\)

i potem wychodzi

\(\displaystyle{ 0 \le a _{n} \le 4}\)

Ten tekst sugeruje, że \(\displaystyle{ 0 \le \sqrt[n]{2 ^{n} + 2 ^{n} }=2+2=4}\)

Mam nadzieję, że wiesz ze to nieprawda.

[spejson_]

ja zrobilem podobnie tj.

\(\displaystyle{ 0 \le \sqrt[n]{2 ^{n} + 2 ^{n} }}\)

i potem wychodzi

\(\displaystyle{ 0 \le a _{n} \le 4}\)

Ten tekst sugeruje, że \(\displaystyle{ 0 \le \sqrt[n]{2 ^{n} + 2 ^{n} }=2+2=4}\)

Mam nadzieję, że wiesz ze to nieprawda.

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{2^n + 2^n} = \sqrt[n]{2*2^n} = \sqrt[n]{2^n}*\sqrt[n]{2} = 2*\sqrt[n]{2}}\) no i to jest maksymalnie rowne 4 ( tak mi sie wydaje) tzn gdzie popelnilem blad?

[Premislav]

Nigdzie.