Dowodzenie inkluzji

[hack2yrjoy]

Załóżmy, że mamy zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) których elementami są zbiory, wtedy:
\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in A \right\}}\)

Nie wiem w ogóle, jak miałaby wyglądać suma zbioru po prawej stronie, bo elementami będzie para uporządkowana zbiorów, tak? Bo elementy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są zbiorami które należą do \(\displaystyle{ A}\), no a iloczyn kartezjański tworzy pary uporządkowane.

Byłbym wdzięczny, jakby ktoś chciał pomóc mi w zrozumieniu, nie do końca rozwiązaniu, dziękuje

[Jan Kraszewski]

Masz literówkę, powinno być

\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in \red B \black\right\}.}\)

Nie wiem w ogóle, jak miałaby wyglądać suma zbioru po prawej stronie, bo elementami będzie para uporządkowana zbiorów, tak?

Nie. Masz

\(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle\in \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\} \Leftrightarrow (\exists X\in A)(\exists Y\in B)\left\langle a,b\right\rangle\in X\times Y,}\)

gdzie nie wiemy, czym są \(\displaystyle{ a,b}\) (tzn. nie znamy ich charakteru - mogą to być zbiory, mogą inne obiekty). To zależy, czym są elementy zbiorów należących do rodzin zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\).

JK

[hack2yrjoy]

Nie. Masz

\(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle\in \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\} \Leftrightarrow (\exists X\in A)(\exists Y\in B)\left\langle a,b\right\rangle\in X\times Y,}\)

gdzie nie wiemy, czym są \(\displaystyle{ a,b}\) (tzn. nie znamy ich charakteru - mogą to być zbiory, mogą inne obiekty). To zależy, czym są elementy zbiorów należących do rodzin zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\).

No dobrze, ale ja iloczyn kartezjański mam na tych zbiorach należących do \(\displaystyle{ S}\). Bo dajmy przykład, że: \(\displaystyle{ \{e,f\} \in S, \{g,h,i\} \in S}\), więc para uporządkowana po wykonaniu iloczynu wyglądałby tak: \(\displaystyle{ (\{e,f\},\{g,h,i\})}\)?

[Jan Kraszewski]

Co to jest \(\displaystyle{ S}\)? Co to znaczy "para uporządkowana po wykonaniu iloczynu wyglądałby tak"?

Para to para, iloczyn to iloczyn, nie myl tych pojęć. Jeśli \(\displaystyle{ \{e,f\} \in S, \{g,h,i\} \in S}\), to istotnie \(\displaystyle{ \left( \{e,f\}, \{g,h,i\}\right) \in S\times S}\). I tyle.

JK

[hack2yrjoy]

Co to jest \(\displaystyle{ S}\)? Co to znaczy "para uporządkowana po wykonaniu iloczynu wyglądałby tak"?

Para to para, iloczyn to iloczyn, nie myl tych pojęć. Jeśli \(\displaystyle{ \{e,f\} \in S, \{g,h,i\} \in S}\), to istotnie \(\displaystyle{ \left( \{e,f\}, \{g,h,i\}\right) \in S\times S}\). I tyle.

JK

Racja, źle to ująłem. Tyle że no właśnie te elementy X i Y będą chyba takimi zbiorami, ponieważ jak napisałem na początku to mam narzucone z góry.

Załóżmy, że mamy zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) których elementami są zbiory

Czyli właśnie takie elementy jakie dałem w przykładzie.

Bo dajmy przykład, że: \(\displaystyle{ \{e,f\} \in S, \{g,h,i\} \in S}\)

[Jan Kraszewski]

No dobrze, ale dalej nie wiem, z czym masz problem. I dalej nie napisałeś, co to jest \(\displaystyle{ S}\).

JK

[Jakub Gurak]

Byłbym wdzięczny, jakby ktoś chciał pomóc mi w zrozumieniu, nie do końca rozwiązaniu, dziękuje

Spróbuję.

Załóżmy, że mamy zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) których elementami są zbiory

- czyli masz dwie rodziny zbiorów.

wtedy:
\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\)

Czyli, zbiór będący sumą pierwszej rodziny zbiorów ( czyli \(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right)}\)) pomnożony kartezjańsko przez zbiór będący sumą drugiej rodziny, taki iloczyn kartezjański ma się zawierać w sumie wszystkich iloczynów kartezjańskich postaci \(\displaystyle{ X \times Y}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem z pierwszej rodziny, \(\displaystyle{ Y}\) jest zbiorem z drugiej rodziny.

[hack2yrjoy]

Byłbym wdzięczny, jakby ktoś chciał pomóc mi w zrozumieniu, nie do końca rozwiązaniu, dziękuje

Spróbuję.

Załóżmy, że mamy zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) których elementami są zbiory

- czyli masz dwie rodziny zbiorów.

wtedy:
\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\)

Czyli, zbiór będący sumą pierwszej rodziny zbiorów ( czyli \(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right)}\)) pomnożony kartezjańsko przez zbiór będący sumą drugiej rodziny, taki iloczyn kartezjański ma się zawierać w sumie wszystkich iloczynów kartezjańskich postaci \(\displaystyle{ X \times Y}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem z pierwszej rodziny, \(\displaystyle{ Y}\) jest zbiorem z drugiej rodziny.

Teraz lepiej to rozumiem, dziękuje

No dobrze, ale dalej nie wiem, z czym masz problem. I dalej nie napisałeś, co to jest \(\displaystyle{ S}\).

Zbiór \(\displaystyle{ S}\) wymyśliłem na szybko żeby pokazać czy go dobrze rozumiem zagadnienie
To teraz kolejny problem, jak dobrze zacząć ten dowód, jakieś założenie jak np: \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \right)}\) ?

[Jan Kraszewski]

To teraz kolejny problem, jak dobrze zacząć ten dowód, jakieś założenie jak np: \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \right)}\) ?

Pokaż dwa zawierania. Tak jak wyżej możesz zacząć dowód zawierania \(\displaystyle{ \subseteq}\). Teraz skorzystaj z definicji iloczynu kartezjańskiego, potem dwa razy z def. sumy uogólnionej, a potem popatrz, co dostałeś, a czego potrzebujesz, by zakończyć dowód. Może to prawie to samo?

JK

[hack2yrjoy]

Teraz skorzystaj z definicji iloczynu kartezjańskiego

W sensie coś jak:\(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \right) \Rightarrow x \in \bigcup A \wedge y \in \bigcup B}\)

[Jan Kraszewski]

Tak, ale zamiast znaczków lepiej pisz to słowami.

JK

[hack2yrjoy]

Tak, ale zamiast znaczków lepiej pisz to słowami.

Dobrze, a czy mogę teraz założyć że skoro \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ (\bigcup A)}\) to należy też do \(\displaystyle{ A}\) ?

[Jan Kraszewski]

czy mogę teraz założyć że skoro \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ \bigcup A}\) to należy też do \(\displaystyle{ A}\) ?

No skąd! Znasz definicję sumy uogólnionej?

JK

[hack2yrjoy]

czy mogę teraz założyć że skoro \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ \bigcup A}\) to należy też do \(\displaystyle{ A}\) ?

No skąd! Znasz definicję sumy uogólnionej?
JK

Jak widać niezbyt, chyba potrzebuje wyjaśnienia

[Jan Kraszewski]

No cóż, ciężko rozwiązywać zadania nie znając definicji: ... e_formalne. Masz tam też definicję sumy uogólnionej.

JK