Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód
-
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 52 razy
Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód
Witam,
Mam udowodnić, że \(\displaystyle{ (\forall A)(A = \bigcup P(A))}\)
Wpadłem na pomysł, żeby rozwiązać to zadanie z aksjomatu ekstensjonalności. Doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ x \in A \iff \{x\} \subseteq A \iff \{x\} \in P(A) \iff (\exists X)(X \in P(A) \land x\in X) \iff x\in \bigcup P(A)}\)
Pytanie mam takie - czy wszystkie równoważności są uzasadnione, czy może gdzieś powinna być implikacja?
Mam udowodnić, że \(\displaystyle{ (\forall A)(A = \bigcup P(A))}\)
Wpadłem na pomysł, żeby rozwiązać to zadanie z aksjomatu ekstensjonalności. Doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ x \in A \iff \{x\} \subseteq A \iff \{x\} \in P(A) \iff (\exists X)(X \in P(A) \land x\in X) \iff x\in \bigcup P(A)}\)
Pytanie mam takie - czy wszystkie równoważności są uzasadnione, czy może gdzieś powinna być implikacja?
Ostatnio zmieniony 6 lis 2017, o 20:07 przez Kalkulatorek, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 52 razy
Re: Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód
Nie wyświetliły mi się klamry, źle napisałem kodPremislav pisze:Ojej, nie. To jest zupełnie źle.\(\displaystyle{ x \in A \iff {x} \subseteq A}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód
Aha.
\(\displaystyle{ A\subset \bigcup P(A)}\)
Proponuję w drugą stronę: jeśli \(\displaystyle{ x \in \bigcup P(A)}\), to istnieje taki \(\displaystyle{ X \in P(A)}\), że \(\displaystyle{ x \in X}\), a skoro \(\displaystyle{ X\in P(A)}\), to \(\displaystyle{ X\subset A}\), więc jako że
\(\displaystyle{ x\in X}\), to także \(\displaystyle{ x \in A}\).
Chociaż tak naprawdę to nie, ja się za bardzo czepiam, można i wstawić tam tę równoważność, tylko to jeszcze wymaga komentarza.
Tutaj powinna być tylko implikacja w jedną stronę (w prawą).-- 6 lis 2017, o 21:20 --Pokazałeś zatem, że\(\displaystyle{ \{x\} \in P(A) \iff (\exists X)(X \in P(A) \land x\in X)}\)
\(\displaystyle{ A\subset \bigcup P(A)}\)
Proponuję w drugą stronę: jeśli \(\displaystyle{ x \in \bigcup P(A)}\), to istnieje taki \(\displaystyle{ X \in P(A)}\), że \(\displaystyle{ x \in X}\), a skoro \(\displaystyle{ X\in P(A)}\), to \(\displaystyle{ X\subset A}\), więc jako że
\(\displaystyle{ x\in X}\), to także \(\displaystyle{ x \in A}\).
Chociaż tak naprawdę to nie, ja się za bardzo czepiam, można i wstawić tam tę równoważność, tylko to jeszcze wymaga komentarza.
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód
Strasznie zawikłany ten dowód.Premislav pisze:Pokazałeś zatem, że
\(\displaystyle{ A\subset \bigcup P(A)}\)
Przecież \(\displaystyle{ A\in P(A)}\), więc jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), to z definicji sumy \(\displaystyle{ x\in \bigcup P(A)}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1392
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 83 razy
Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód
Można jeszcze prościej.
\(\displaystyle{ A \supset \bigcup P(A)}\)- suma rodziny podzbiorów \(\displaystyle{ A}\), musi być podzbiorem \(\displaystyle{ A}\). Z drugiej jednak strony, suma rodziny zbiorów jest nadzbiorem każdego zbioru tej rodziny. A u nas \(\displaystyle{ A\in P\left( A\right)}\), wobec czego \(\displaystyle{ A \subset \bigcup P(A)}\).
\(\displaystyle{ A \supset \bigcup P(A)}\)- suma rodziny podzbiorów \(\displaystyle{ A}\), musi być podzbiorem \(\displaystyle{ A}\). Z drugiej jednak strony, suma rodziny zbiorów jest nadzbiorem każdego zbioru tej rodziny. A u nas \(\displaystyle{ A\in P\left( A\right)}\), wobec czego \(\displaystyle{ A \subset \bigcup P(A)}\).
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód
To jest dokładnie to, co pokazał Premislav.Jakub Gurak pisze:\(\displaystyle{ A \supset \bigcup P(A)}\)- suma rodziny podzbiorów \(\displaystyle{ A}\), musi być podzbiorem \(\displaystyle{ A}\).
A to jest dokładnie to, co napisałem powyżej.Jakub Gurak pisze:Z drugiej jednak strony, suma rodziny zbiorów jest nadzbiorem każdego zbioru tej rodziny. A u nas \(\displaystyle{ A\in P\left( A\right)}\), wobec czego \(\displaystyle{ A \subset \bigcup P(A)}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1392
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód
Tylko, że zrobiłem bez rozpiski. A to są podstawowe własności sumy, więc chyba można z nich skorzystać bez rozpisywania...