Witam.
Wiadomo że szereg odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżny, ja zastanawiam się w jaki sposób zbiór liczb pierwszych (oznaczmy \(\displaystyle{ \PP}\)) należało by rozrzedzić (w rozumieniu intuicyjnym) by szereg stał się zbieżny. W szczególności zastanawiam się nad szeregami typu:
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{A}_i} \frac{1}{k}}\) jest najbardziej narzucającym się szeregiem do takich zabaw, nie wykluczam badania szeregów bardziej subtelnych np.:
Gdzie: \(\displaystyle{ \mathbb{A}_1=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{ostatnia cyfra x to 1}\right\}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{A}_2=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{pierwsza cyfra x to 1}\right\}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{A}_3=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{w zapisie x nie występuje cyfra 1}\right\}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{A}_4=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{w zapisie x występuje tyle samo cyfr 1 co cyfr 2}\right\}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{A}_5=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{w zapisie x jest parzysta liczba cyfr}\right\}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{A}_6=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{x składa się wyłącznie z nieparzystych cyfr}\right\}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{A}_7=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{x składa się wyłącznie z cyfr 1,3}\right\}}\)
i wiele innych kombinacji tego typu. Nie wykluczam też brania części wspólnych i innych kombinacji (no byle by zbiór był nieskończony). Podane przeze mnie zbiory to nie są konkretne przykłady i można je modyfikować zmieniając wymagania odnoście cyfr.
Być może pomocne będzie też wprowadzenie oznaczenia. Niech więc:
Przepraszam, że się w ogóle wypowiadam, skoro znam się mniej od Ciebie, ale z tego co pamiętam z wykładu, to usunięcie z szeregu skończonej liczby wyrazów - nie wpływa na zbieżność szeregu. Jeśli nie o to pytasz, to milknę i znikam.
Rozbitek, skończonej liczby nie, ale przecież jest przeliczalnie wiele liczb, które zawierają przykładowo cyfrę \(\displaystyle{ 9}\); a popatrz na przykład
Istotnie, co więcej analogiczny argument daje też zbieżność szeregów zbudowanych z odwrotności elementów \(\displaystyle{ A_6}\) i \(\displaystyle{ A_7}\).
twierdzenie Dirichleta mówi, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b}\) względnie pierwszych szereg odwrotności liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ an+b}\) jest rozbieżny; położenie \(\displaystyle{ a=10}\) i \(\displaystyle{ b=1}\) załatwia sprawę \(\displaystyle{ \mathbb A_1}\)
Wprawdzie standardowo określa się \(\displaystyle{ \pi(n) = \{ p \le n : p \text{ jest liczbą pierwszą} \},}\) ale oczywiście powyższe stwierdzenie pozostaje prawdziwe, jeśli \(\displaystyle{ \pi(n)}\) zastąpimy przez \(\displaystyle{ \pi'(n) = \{ p < n : p \text{ jest liczbą pierwszą} \}.}\) Stąd istnieje takie \(\displaystyle{ K,}\) że dla \(\displaystyle{ k \ge K}\) mamy
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
N_k &= # \{ p \in \NN : p \text{ jest liczbą pierwszą } (k+1) \text{-cyfrową o pierwszej cyfrze} = 1 \} \\[1ex]
& = \{ 10^k \leqslant p < 2 \cdot 10^k : p \text{ jest liczbą pierwszą} \} = \pi'(2 \cdot 10^k) - \pi'(10^k) \\[1ex]
& \ge \frac{2 \cdot 10^k}{\alpha (\ln 2 + k \ln 10) } - \frac{\alpha \cdot 10^k}{k \ln 10} \ge \frac{10^k}{k \ln 10} \left( \frac{2}{\alpha \left( 1 + \frac{\ln 2}{\ln 10} \right)} - \alpha \right).
\end{align*}$}\)
Jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ \alpha \approx 1,}\) to liczba \(\displaystyle{ \beta = \frac{2}{\alpha \left( 1 + \frac{\ln 2}{\ln 10} \right)} - \alpha}\) będzie dodatnia. Zatem
Jeśli w powyższej sumie weźmiemy co drugi wyraz, to wyjdzie, że suma odwrotności \(\displaystyle{ \mathbb{A}_2 \cap \mathbb{A}_5}\) jest rozbieżna, więc \(\displaystyle{ \mathbb{A}_5}\) tym bardziej.
Dziękuję Wszystkim za odpowiedzi dużo mi pomogły. Jednocześnie przepraszam za odstępy w odpisywaniu, spowodowane są deficytem czasu i tym że temat jest dla mnie nowy.
O ile o szeregach Kempnera udało mi się znaleźć trochę literatury, to o twierdzeniu Dirichleta w ujęciu z szeregami nie znalazłem nic konkretnego dlatego jeśli timon92, masz jakąś literaturę, linki to proszę podeślij.
Zastanawiam się nad takim zbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subseteq \PP}\) zbudowanego analogicznie jak wyżej dla którego szereg:
Stąd płynie ciekawy wniosek. Wiemy, że dla dowolnych naturalnych liczb takich, że \(\displaystyle{ \NWD(a,b)=1}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{A}=\left\{ an+b: n\in\NN\right\}}\) jest nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dodatkowo suma odwrotności tych liczb pierwszych (ze zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\)) jest rozbieżna. Wynika stąd, że każda z cyfr \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,...,9\right\}}\) występuje w zapisie liczb pierwszych ze zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) nieskończenie wiele razy. W przeciwnym razie zakładając, że jakaś cyfra występuje w zapisie liczb pierwszych z \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) skończoną liczbę razy można by sumę odwrotności tych liczb oszacować z góry odpowiednim ale takie szacowanie to sprzeczność bo szereg Kempnera jest zbieżny a z tw. Dirichleta wiemy, że szereg odwrotności liczb pieszych z \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest rozbieżny.
Czyli dowolna cyfra powtarza się w zapisie liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ an+b}\) nieskończenie wiele razy.
Janusz Tracz pisze:Zastanawiam się nad takim zbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subseteq \PP}\) zbudowanego analogicznie jak wyżej dla którego szereg:
Nawet \(\displaystyle{ \mathbb{A} = \PP}\) będzie pasować. Z twierdzenia o liczbach pierwszych wynika, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \beta \in (0, 1)}\) od pewnego miejsca zachodzi
\(\displaystyle{ p_n \ge \beta n \ln n,}\)
gdzie \(\displaystyle{ p_n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę pierwszą. Dla \(\displaystyle{ \beta = \frac{1}{2}}\) dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{p_n \ln p_n} \le \frac{1}{\frac{1}{2} n \ln n \cdot \ln \big( \frac{1}{2} n \ln n \big)} \le \frac{2}{n \ln^2 n},}\)
