Muszę zbadać zbieżność ciągu
\(\displaystyle{ a_{n}= \sqrt[n]{ \sum_{k=1}^{n} \left( 2- \frac{1}{k} \right) ^{k} }}\)
Nie wiem jak to zrobić. Wiem tyle, że ta suma będzie dodatnia, ale nie wiem jak bardzo duża będzie. Może da się ją jakoś uprościć?
Badanie zbieżności ciągu
-
adda16
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 17 paź 2017, o 13:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 25 razy
Badanie zbieżności ciągu
Ostatnio zmieniony 6 lis 2017, o 22:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Badanie zbieżności ciągu
Oczywiście dla dużych \(\displaystyle{ n}\) w tej sumie najbardziej znaczącym jest wyraz
\(\displaystyle{ \left( 2-\frac 1 n\right)^n}\). Oszacuj:
\(\displaystyle{ \left( 2-\frac 1 n\right)^n\le \sum_{k=1}^{n}(2- \frac{1}{k})^{k}\le n\cdot \left( 2-\frac 1 n\right)^n}\),
wstaw te pierwiastki (formalnie to \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[n]{x}}\) określona dla \(\displaystyle{ x>0}\) jest rosnąca), zastosuj tw. o trzech ciągach.
\(\displaystyle{ \left( 2-\frac 1 n\right)^n}\). Oszacuj:
\(\displaystyle{ \left( 2-\frac 1 n\right)^n\le \sum_{k=1}^{n}(2- \frac{1}{k})^{k}\le n\cdot \left( 2-\frac 1 n\right)^n}\),
wstaw te pierwiastki (formalnie to \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[n]{x}}\) określona dla \(\displaystyle{ x>0}\) jest rosnąca), zastosuj tw. o trzech ciągach.