Polecenie takie jak w temacie, trzeba olbiczyć granice ciągów. Będę wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n }\cdot n!}{n^{n}}}\)
Liczyłam granicę \(\displaystyle{ \left| \frac{ a_{n+1} }{a _{n} } \right|}\) wyszło mi 0. Czyli granica ciągu \(\displaystyle{ a _{n}}\) też jest równa 0. Mógłby ktoś potwierdzić albo najlepiej przedstawić całe rozumowanie jak się to powinno robić? Nie jestem pewna tego rozwiązania.
Drugi przykład:
\(\displaystyle{ b _{n}= n \cdot \sin \left( \frac{n \cdot \pi }{2}\right)}\)
W tym drugim trzeba chyba skorzystać z podciągów?
Trzeci przykład:
\(\displaystyle{ c _{n}= \sqrt[n]{2n-\cos n}}\)
Zupełnie nie wiem jak się do tego zabrać.
Obliczyć granicę lub wykazać, że ona nie istnieje
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 5 lis 2017, o 22:47
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 2 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Obliczyć granicę lub wykazać, że ona nie istnieje
Miało być \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2^{n \cdot n!}}{n^n}}\), czy jednak
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2^{n} \cdot n!}{n^n}}\)
Jeżeli to pierwsze to granica jest trywialna: \(\displaystyle{ 2^k \ge k}\) dla \(\displaystyle{ k\in \NN}\) (łatwo to wykazać np. indukcyjnie lub z nierówności Bernoulliego), zatem
\(\displaystyle{ 2^{n\cdot n!}=\left( 2^{n!}\right)^n \ge n!^n}\)
i
\(\displaystyle{ \frac{2^{n \cdot n!}}{n^n} \ge (n-1)!^n}\),
więc mamy granicę niewłaściwą \(\displaystyle{ +\infty}\).
Natomiast co do trzeciego przykładu (nie widzę wprawdzie drugiego)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3}\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{3n}\ge\sqrt[n]{2n-\cos n}\ge \sqrt[n]{n}}\)
ponieważ \(\displaystyle{ -n\le -1\le \cos n \le 1\le n}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\)
i zastosuj twierdzenie o trzech ciągach.
-- 6 lis 2017, o 00:40 --
Aha, już widzę drugie, nie istnieje
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } n \cdot \sin \left( \frac{n \cdot \pi }{2}\right)}\), popatrz na podciąg \(\displaystyle{ b_{2n}}\) i \(\displaystyle{ b_{2n+1}}\) - zachowują się one inaczej, a granica musi być jedna, o ile w ogóle istnieje.
Widzę, że pierwszy przykład jednak inaczej wyglądał, no to Twoje rozumowanie jest OK.
Można też jakoś oszacować, ale to podejście, które zaproponowałaś jest prostsze. Nie chce mi się rozpisywać. Spytam więc tylko: czy wiesz, czemu jeśli
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| <1}\), to ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ 0}\)? Jeśli tak, to nie ma co wydziwiać i szukać innego rozwiązania.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2^{n} \cdot n!}{n^n}}\)
Jeżeli to pierwsze to granica jest trywialna: \(\displaystyle{ 2^k \ge k}\) dla \(\displaystyle{ k\in \NN}\) (łatwo to wykazać np. indukcyjnie lub z nierówności Bernoulliego), zatem
\(\displaystyle{ 2^{n\cdot n!}=\left( 2^{n!}\right)^n \ge n!^n}\)
i
\(\displaystyle{ \frac{2^{n \cdot n!}}{n^n} \ge (n-1)!^n}\),
więc mamy granicę niewłaściwą \(\displaystyle{ +\infty}\).
Natomiast co do trzeciego przykładu (nie widzę wprawdzie drugiego)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3}\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{3n}\ge\sqrt[n]{2n-\cos n}\ge \sqrt[n]{n}}\)
ponieważ \(\displaystyle{ -n\le -1\le \cos n \le 1\le n}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\)
i zastosuj twierdzenie o trzech ciągach.
-- 6 lis 2017, o 00:40 --
Aha, już widzę drugie, nie istnieje
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } n \cdot \sin \left( \frac{n \cdot \pi }{2}\right)}\), popatrz na podciąg \(\displaystyle{ b_{2n}}\) i \(\displaystyle{ b_{2n+1}}\) - zachowują się one inaczej, a granica musi być jedna, o ile w ogóle istnieje.
Widzę, że pierwszy przykład jednak inaczej wyglądał, no to Twoje rozumowanie jest OK.
Można też jakoś oszacować, ale to podejście, które zaproponowałaś jest prostsze. Nie chce mi się rozpisywać. Spytam więc tylko: czy wiesz, czemu jeśli
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| <1}\), to ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ 0}\)? Jeśli tak, to nie ma co wydziwiać i szukać innego rozwiązania.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 5 lis 2017, o 22:47
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 2 razy
Obliczyć granicę lub wykazać, że ona nie istnieje
Dzięki Premislav. W pierwszym przykładzie chodziło mi o tą drugą granicę, problemy z przepisywaniem przykładów Już edytowany. Nie do końca wiem dlaczego granica ciagu \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest wtedy równa 0. Spróbuję się nad tym zastanowić.
Czyli w 3 przykładzie granica jest równa 1?
Czyli w 3 przykładzie granica jest równa 1?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Obliczyć granicę lub wykazać, że ona nie istnieje
No to się jednak rozpisałem.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=g \in [0,1)}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny (a więc i zbieżny) na mocy kryterium d'Alemeberta zbieżności szeregów, zatem spełnia warunek konieczny zbieżności szeregu, tj. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=0}\).
Jednak można to też wytłumaczyć bez odnoszenia się do szeregów liczbowych:
na początek odnotujmy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty }|a_n|=0}\), więc możemy w dowodzie ograniczyć się do ciągów o wyrazach wyłącznie dodatniach
(bo \(\displaystyle{ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}}\) itd.).
Niech więc \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie ciągiem o wyrazach dodatnich i niech \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} =g \in [0,1)}\)
Weźmy dowolną liczbę \(\displaystyle{ q \in \left( g,1\right)}\). Wówczas, skoro \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} =g \in [0,1)}\), to z definicji granicy istnieje takie \(\displaystyle{ n_q}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ n \in \NN}\) nie mniejszych od \(\displaystyle{ n_q}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} <q}\). Niech więc \(\displaystyle{ n>n_q}\). Dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{a_{n_q+1}}{a_{n_q}}<q\\ \frac{a_{n_q+2}}{a_{n_q+1}}<q\\ \ldots\\ \frac{a_n}{a_{n-1}}<q}\)
Mnożąc stronami tych \(\displaystyle{ n-n_q}\) nierówności, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n_q}} \le q^{n-n_q}}\)
czyli
\(\displaystyle{ 0<a_n \le a_{n_q}\cdot q^{n-n_q}}\),
teraz (\(\displaystyle{ n_q}\) jest wciąż tym samym ustalonym, dobranym do \(\displaystyle{ q \in (0,1)}\))
przechodząc z \(\displaystyle{ n}\) do\(\displaystyle{ \infty}\) i stosując twierdzenie o trzech ciągach, mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n=0}\),
bo oczywiście \(\displaystyle{ a_{n_q}}\) ustalone, zaś \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }q^n=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ q\in(0,1)}\).
OK, przyjrzyjmy się temu pokrótce. Jeśli ktoś zna podstawy teorii związanej z szeregami liczbowymi, niektóre kryteria zbieżności itd. to można powiedzieć, że skorokarmelowyzuk pisze:Nie do końca wiem dlaczego granica ciagu \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest wtedy równa 0.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=g \in [0,1)}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny (a więc i zbieżny) na mocy kryterium d'Alemeberta zbieżności szeregów, zatem spełnia warunek konieczny zbieżności szeregu, tj. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=0}\).
Jednak można to też wytłumaczyć bez odnoszenia się do szeregów liczbowych:
na początek odnotujmy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty }|a_n|=0}\), więc możemy w dowodzie ograniczyć się do ciągów o wyrazach wyłącznie dodatniach
(bo \(\displaystyle{ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}}\) itd.).
Niech więc \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie ciągiem o wyrazach dodatnich i niech \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} =g \in [0,1)}\)
Weźmy dowolną liczbę \(\displaystyle{ q \in \left( g,1\right)}\). Wówczas, skoro \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} =g \in [0,1)}\), to z definicji granicy istnieje takie \(\displaystyle{ n_q}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ n \in \NN}\) nie mniejszych od \(\displaystyle{ n_q}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} <q}\). Niech więc \(\displaystyle{ n>n_q}\). Dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{a_{n_q+1}}{a_{n_q}}<q\\ \frac{a_{n_q+2}}{a_{n_q+1}}<q\\ \ldots\\ \frac{a_n}{a_{n-1}}<q}\)
Mnożąc stronami tych \(\displaystyle{ n-n_q}\) nierówności, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n_q}} \le q^{n-n_q}}\)
czyli
\(\displaystyle{ 0<a_n \le a_{n_q}\cdot q^{n-n_q}}\),
teraz (\(\displaystyle{ n_q}\) jest wciąż tym samym ustalonym, dobranym do \(\displaystyle{ q \in (0,1)}\))
przechodząc z \(\displaystyle{ n}\) do\(\displaystyle{ \infty}\) i stosując twierdzenie o trzech ciągach, mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n=0}\),
bo oczywiście \(\displaystyle{ a_{n_q}}\) ustalone, zaś \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }q^n=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ q\in(0,1)}\).
Zgadza się.Czyli w 3 przykładzie granica jest równa 1?