Znałeżć elementy wyróżnione.

[Big_Boss1997]

Dzień dobry! Mam kilka pytań do tego zadania:

Dla zbioru \(\displaystyle{ A = \left\{ 1 + 2i, 2 + 2i, 3 + 2i, 2 + i\right\}}\) znajdź elementy wyróżnione oraz najliczniejszy łańcuch złożony z elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Jak rozumiem tutaj nie ma elementów największych i najmniejśzych, ale jest element maksymalny - \(\displaystyle{ 3 + 2i}\). I każdy element tworzy sam siebie łańcuch, bo żadny jest podzielny przez jakiś inny element. Czy dobrze to rozumiem?

[Jan Kraszewski]

Póki co tego zadania nie da się rozwiązać. Żeby mówić o elementach wyróżnionych, trzeba mieć zbiór częściowo uporządkowany, a Ty nic nie napisałeś o takowym. Treść sugeruje, że \(\displaystyle{ A \subseteq \CC}\), a na zbiorze liczb zespolonych nie ma naturalnego porządku.

Czegoś zatem nie doprecyzowałeś.

JK

[Dasio11]

Może \(\displaystyle{ \ZZ = \{ a+bi : a, b \in \ZZ \}}\) z podzielnością.

[Jan Kraszewski]

Może. Ale tak czy inaczej powinno to być napisane...

JK

[Big_Boss1997]

Jan Kraszewski, przepraszam, oczywiście, że nie napisałem:

W zbiorze liczb zespolonych \(\displaystyle{ \CC}\) określona jest następująca relacja
\(\displaystyle{ S : zSz' \Leftrightarrow z - z' \in \RR_+}\)

[Dasio11]

Dziwne, bo w takim razie \(\displaystyle{ S}\) nie jest relacją porządku, bo nie jest antysymetryczna. Chyba nie można w takim wypadku pytać o elementy wyróżnione ani łańcuchy.

[Jan Kraszewski]

Dziwne, bo w takim razie \(\displaystyle{ S}\) nie jest relacją porządku, bo nie jest antysymetryczna. Chyba nie można w takim wypadku pytać o elementy wyróżnione ani łańcuchy.

Też wpadłem w tę pułapkę... To jednak jest relacja porządku, zakładając, że \(\displaystyle{ RR_+=[0,+infty)}\).

Dla zbioru \(\displaystyle{ A = \left\{ 1 + 2i, 2 + 2i, 3 + 2i, 2 + i\right\}}\) znajdź elementy wyróżnione oraz najliczniejszy łańcuch złożony z elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Jak rozumiem tutaj nie ma elementów największych i najmniejśzych, ale jest element maksymalny - \(\displaystyle{ 3 + 2i}\). I każdy element tworzy sam siebie łańcuch, bo żadny jest podzielny przez jakiś inny element. Czy dobrze to rozumiem?

No nie. Najmniejszych i największych istotnie nie ma, ale jest trzyelementowy łańcuch, dwa elementy maksymalne i dwa elementy minimalne. Przy czym \(\displaystyle{ 3+2i}\) jest elementem minimalnym, a nie maksymalnym (o ile nie pomyliłeś się w definicji relacji).

JK

[Dasio11]

Ajjj... No rzeczywiście. :p

[Big_Boss1997]

Jan Kraszewski, trzyelementowy łańcuch - to będzie \(\displaystyle{ \left\{ 1 + 2i, 2 + 2i, 3 + 2i\right\}}\)? I czy można wyjaśnić dlaczego \(\displaystyle{ \left\{3 + 2i\right\}}\) jest elementem minimalnym?

[Jan Kraszewski]

Jan Kraszewski, trzyelementowy łańcuch - to będzie \(\displaystyle{ \left\{ 1 + 2i, 2 + 2i, 3 + 2i\right\}}\)?

Tak.

I czy można wyjaśnić dlaczego \(\displaystyle{ \left\{3 + 2i\right\}}\) jest elementem minimalnym?

No \(\displaystyle{ \left\{3 + 2i\right\}}\) to nie, bo \(\displaystyle{ \left\{3 + 2i\right\}\notin A}\). Natomiast elementem minimalnym jest \(\displaystyle{ 3 + 2i\right}\). Dlaczego? Bo spełnia definicję elementu minimalnego...

Zauważ, że \(\displaystyle{ 3+2i}\) zgodnie z definicją relacji \(\displaystyle{ S}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ 2+2i}\).

JK

[Big_Boss1997]

Jan Kraszewski, nie do końca rozumiem jeszcze relacje, dlatego bardzo proszę pokazać, jak \(\displaystyle{ \left\{ 3+2i\right\}}\) zgodnie z definicją relacji \(\displaystyle{ S}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ \left\{2+2i \right\}}\)? Z defincji mamy \(\displaystyle{ z - z' \in \RR_+}\) i jak z tego warunku wyjaśnić jaki element jest mniejsy/większy od drugiego?

[Jan Kraszewski]

Po pierwsze, cały czas popełniasz ten sam błąd, nie widząc różnicy pomiędzy \(\displaystyle{ \left\{ 3+2i\right\}}\) a \(\displaystyle{ 3+2i}\). A to poważny błąd, bo \(\displaystyle{ \left\{ 3+2i\right\}}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ 3+2i}\) - liczbą zespoloną.

Po drugie, jeśli \(\displaystyle{ S}\) jest relacją porządku, to \(\displaystyle{ xSy}\) oznacza, że \(\displaystyle{ x}\) jest mniejsze równe od \(\displaystyle{ y}\) w sensie tego porządku. A ponieważ zgodnie z definicją (sprawdź!) mamy \(\displaystyle{ \left( 3+2i\right) \,S\,\left( 2+2i\right)}\), więc \(\displaystyle{ 3+2i}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ 2+2i}\) w sensie porządku \(\displaystyle{ S}\) (bo jest mniejsze równe i nie jest równe).

JK

[Big_Boss1997]

Jan Kraszewski, dziękuję, zacząłem rozumieć, ale z tym mam problem tego: jezeli mamy \(\displaystyle{ \left( 3+2i\right) \,S\,\left( 2+2i\right)}\), to \(\displaystyle{ \left( 3+2i\right) - \left( 2+2i\right) \in \RR_+}\), czyli \(\displaystyle{ 1 \in \RR_+}\). Z tego \(\displaystyle{ \left( 3+2i\right)}\) jest większe od \(\displaystyle{ \left( 2+2i\right)}\). Nie rozumiem, dlaczego na odwrót.

[Jan Kraszewski]

Z tego \(\displaystyle{ \left( 3+2i\right)}\) jest większe od \(\displaystyle{ \left( 2+2i\right)}\).

Niby dlaczego? Z tego jest mniejsze. Mylisz definicję z (błędną) intuicją.

I jeszcze jedno:

jezeli mamy \(\displaystyle{ \left( 3+2i\right) \,S\,\left( 2+2i\right)}\), to \(\displaystyle{ \left( 3+2i\right) - \left( 2+2i\right) \in \RR_+}\)

Nieprawda. Powinno być:

"Mamy \(\displaystyle{ \left( 3+2i\right) \,S\,\left( 2+2i\right)}\), ponieważ \(\displaystyle{ \left( 3+2i\right) - \left( 2+2i\right)=1 \in \RR_+}\).

JK

[Big_Boss1997]

Niby dlaczego? Z tego jest mniejsze. Mylisz definicję z (błędną) intuicją.

Jan Kraszewski, Przepraszam, rozumiem, że mówię glupie rzeczy, ale jeżeli z rożnicy u nas zostaje liczba dodatnia \(\displaystyle{ \left( 1\right)}\), to odjemna \(\displaystyle{ \left( 3 + 2i\right)}\) jest większa.