Zbiory wartości i tożsamosći

[wiatrak123]

Witam, pomoże ktoś?
z góry dziękuje

1. Wiedziąc, że:
\(\displaystyle{ \cos 2 \alpha = \frac{-1}{8} , \alpha \in \left( \frac{3}{2} \pi ,2 \pi \right)}\) oblicz
\(\displaystyle{ \sin \alpha ,\cos \alpha ,\tg \left( \frac{19}{2} \pi + \alpha \right), \cos \left( \frac{13}{6} \pi - \alpha \right)}\)

2. Sprawdź tożsamości:
a) \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{ \pi }{4}- \frac{x}{2} \right) +\tg \left( \frac{ \pi }{4}+ \frac{x}{2} \right)= \frac{2}{\cos x}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x}=2}\)

3. Wykaż, że:
a) \(\displaystyle{ \cos \frac{ \pi }{5} + \cos \frac{3 \pi }{5} = \frac{1}{2}}\)
b) \(\displaystyle{ \tg ^{2} \frac{ \pi }{5}*\tg ^{2} \frac{2 \pi }{5} = 5}\)

4. Wyznacz zbiór wartości
a) \(\displaystyle{ f(x)=\sin 3x-\sin \left( \frac{ \pi }{3}-3x \right)}\)
b) \(\displaystyle{ f(x)=4\sin ^{2}x-4\sin x+5}\)

[Premislav]

1. Skorzystaj ze wzorków \(\displaystyle{ \sin^2 x= \frac{1-\cos(2x)}{2}, \ \cos^2 x= \frac{1+\cos(2x)}{2}}\). Weź pod uwagę to, jaki znak mają sinus i cosinus w rozpatrywanym przedziale.
4.
a) Ze wzoru na różnicę sinusów: \(\displaystyle{ \sin 3x-\sin \left( \frac{ \pi }{3}-3x \right)=2\sin\left( \frac{6x-\frac \pi 3}{2} \right)\cos\left( \frac{\pi}{6} \right) =\sqrt{3}\sin\left( 3x-\frac{\pi}{6} \right)}\) i stąd już widać, że zbiorem wartości
\(\displaystyle{ f(x)=\sin 3x-\sin \left( \frac{ \pi }{3}-3x \right)}\) jest \(\displaystyle{ \left[ -\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]}\)
b) Wskazówka: \(\displaystyle{ 4\sin^2 x-4\sin x+5=(2\sin x-1)^2+4}\).
Jakie wartości może przyjmować \(\displaystyle{ \sin x}\)? A jakie \(\displaystyle{ 2\sin x-1}\) (warto popatrzyć na możliwe wartości bezwzględne, gdyż \(\displaystyle{ x^2=|x|^2}\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\))?

[wiatrak123]

W pierwszym mam \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{-3}{4}}\) i \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{7} }{4}}\) nie wiem co zrobic z tymi bardziej rozbudowanymi. W drugim zrobiłem B natomiast lewa storna w A wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{2\tg \frac{ \pi }{4} }{1-\tg \frac{x \pi }{8} }}\) i nie wiem co dalej. W trzecim A lewą stronę robię ze wzoru na sumę cosinusów i nie wiem jak to dalej pomnożyć czy skrócić. Natomiast czy w czwartym w b można użyć zmiennej pomocniczej?

[Premislav]

W pierwszym użyj wzorów redukcyjnych:
\(\displaystyle{ \tg\left( \alpha+k\pi\right) =\tg \alpha, \ k \in \ZZ, \ \cos(\alpha+2k\pi)=\cos \alpha, \ k\in \ZZ}\), w ten sposób to sprowadzasz odpowiednio do
\(\displaystyle{ \tg\left( \frac \pi 2+\alpha\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{\pi}{6}-\alpha\right)}\)
i teraz to pierwsze można jeszcze uprościć do\(\displaystyle{ -\ctg \alpha=-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}\), a to drugie sobie rozpisz ze wzoru na cosinus różnicy:
\(\displaystyle{ \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}\)

W drugim ja tak bym robił podpunkt a):
\(\displaystyle{ \tg\left( \frac \pi 2+\alpha\right) =-\ctg \alpha=-\frac{1}{\tg \alpha}=\frac{1}{\tg(-\alpha)}}\), więc równoważnie masz do udowodnienia:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\tg \left( \frac{ \pi }{4}+ \frac{x}{2} \right)}+\tg \left( \frac{ \pi }{4}+ \frac{x}{2} \right)=\frac{2}{\cos x}}\)
Zacząłbym od dziedziny (te tangensy mają mieć sens, no i cosinus niezerowy), potem:
\(\displaystyle{ \cos x=\sin \left( \frac \pi 2+x\right) =2\sin\left( \frac\pi 4+\frac x 2\right) \cos\left( \frac\pi 4+\frac x 2\right)=2\tg\left( \frac x 2+\frac \pi 4\right)\cos^2\left( \frac x 2+\frac \pi 4\right)}\),
potem jeszcze po wstawieniu tego do prawej strony skorzystaj z: \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\tg^2\alpha}\) i wychodzi.

Z trzecim nie chce mi się babrać, może ktoś inny coś napisze.

Tak, w czwartym można użyć zmiennej pomocniczej, wstawiasz \(\displaystyle{ t=\sin x}\) i masz do rozwazenia "kawałek" trójmianu \(\displaystyle{ g(t)=4t^2-4t+5}\) dla\(\displaystyle{ t \in[-1,1]}\).