Pierwiastki z jednosci

[Zymon]

Dzien dobry,
Mam do Was pytanie. Czy prawdziwe jest twierdzenie :
"Jezeli modul liczby zespolonej \(\displaystyle{ Z}\) jest rowny jeden to istnieje \(\displaystyle{ n}\) takie ze jeden z pierwiastkow \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jednosci bedzie rowny \(\displaystyle{ Z}\)"

Intuicyjnie wydaje sie sensowne. Skoro pierwiastki ukladaja sie w wielokat foremny to przy \(\displaystyle{ n}\) dazacym do nieskonczonosci figura bedzie coraz blizsza kola. Wiec musi znalezc sie n dla ktorego z bedzie nalezalo do zbioru pierwiastkow. Czy moje rozumowanie ma sens? Jesli tak czy moge prosic o pomoc w dowodzie formalnym?

[Premislav]

Nie jest to prawda. To czy liczba zespolona \(\displaystyle{ z}\) o module \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem n-tego stopnia z jedności dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) zależy od jej (czy raczej jej argumentu) współmierności z \(\displaystyle{ \pi}\), czy jak by to porządnie nazwać.
Możemy zapisać (bo \(\displaystyle{ |z|=1}\)) \(\displaystyle{ z=cos varphi+isin varphi, varphi in [0,2pi)}\)
i teraz jeśli jest \(\displaystyle{ \frac{\varphi}{\pi}\in \QQ}\), to \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem n-tego stopnia z jedności dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\), a jeśli nie, to nie jest. Dowodu nie będę teraz pisać, bo nie bardzo mam czas, ale nie jest to trudne.

[Janusz Tracz]

A może dało by się pokazać to przez zaprzeczenie. Z założenia że każdą liczbę o okręgu jednostkowego (\(\displaystyle{ \left| z\right|=1}\)) można przedstawić za pomocą jakiegoś \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1}}\) wynika że istnieje bijekcja pomiędzy tymi zbirami. Widać natomiast że \(\displaystyle{ \left| \left\{ z:\left| z\right|=1 \wedge z\in\CC \right\} \right|=\mathfrak{c}}\) a liczba pierwiastków nawet najgęściej upakowanych to \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Stąd sprzeczność taka bijekcja nie istnieje.

[Takahashi]

To jest rozumowanie wprost

Pierwiastków z jedynki jest przeliczalnie wiele:

\(\displaystyle{ \mu_2 \subseteq \mu_6 \subseteq \mu_{24} \subseteq \ldots \subseteq \mu_\infty}\)

a punktów na okręgu nieprzeliczalnie wiele, dlatego bijekcja nie istnieje.

Z założenia że każdą liczbę o okręgu jednostkowego (\(\displaystyle{ \left| z\right|=1}\)) można przedstawić za pomocą jakiegoś \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1}}\) wynika że istnieje bijekcja pomiędzy tymi zbirami.

Nie, wynika tylko, że istnieje injekcja \(\displaystyle{ S^1 \to \mathbb N}\) albo surjekcja w drugą stronę. Dopiero to z odpowiednim twierdzeniem teorii mnogości daje bijekcję.

[Zymon]

Hmm... Okej czyli moja intuicja mnie zawodzi. Jednakże, czy mógłby ktoś mi powiedzieć gdzie popełnia ona ten kluczowy błąd? Nie ukrywam, że chciałbym zrozumieć co się kryje za:

teraz jeśli jest \(\displaystyle{ \frac{\varphi}{\pi}\in \QQ}\), to \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem n-tego stopnia z jedności dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\)

i dlaczego tak jest, bazując na języku algebry. (W teorii mnogości nie zaszedłem jeszcze tak daleko)

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ z=\cos \varphi+i\sin \varphi}\), to ze wzoru de Moivre'a mamy
\(\displaystyle{ z^n=\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)}\), z drugiej strony mamy \(\displaystyle{ \cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)=1 \Leftrightarrow n\varphi=2k \pi, k \in \ZZ}\)
i dalej chyba jasne.

[Zymon]

Wielkie dzięki! Rozjaśniło mi to sprawę całkowicie. Korzystając jednak z okazji by domknąć tok mojego myślenia, czy w takim razie mogę określić czy liczba jest pierwiastkiem z jedynki mając dany \(\displaystyle{ \sin}\) lub \(\displaystyle{ \cos}\) \(\displaystyle{ \varphi}\) ? Czy mogę do tego skorzystać z faktu, że jeżeli wartość \(\displaystyle{ \cos\varphi}\) jest liczbą algebraiczną to \(\displaystyle{ \varphi}\) musi być postaci \(\displaystyle{ \alpha \pi}\)? Gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest wymierne

[Takahashi]

Ale to nie jest prawda: weź takie \(\displaystyle{ \phi}\), że \(\displaystyle{ \cos \phi = 1/3}\).

[Zymon]

Ach... no tak. Przecież implikacja zachodzi w drugą stronę. Moja głupota, wybaczcie, że mysieliście to przeczytać ;/. Chociaż z drugiej strony jest delikatna pokusa by stwierdzić "skoro nie potrafię go wyznaczyć nie znaczy że go nie ma".

Czyli... jeżeli mam liczbę \(\displaystyle{ Z}\) taką, że \(\displaystyle{ \cos \phi}\) = \(\displaystyle{ 1/3}\) albo nie wiem... \(\displaystyle{ 3/5}\) chociażby, to mimo iż jej moduł będzie równy 1, to nie znajdzie się takie \(\displaystyle{ n}\) by była ona pierwiastkiem z jedności. Dobrze to zrozumiałem?