Granic z e, dwa ciągi

[Milczek]

Rozmyślania sprowadziły mnie do pewnego zadania które jest uogólnieniem innego(prawdziwego, więc liczę także tutaj, na pomyślny wynik) , a treść którą chcę przedstawić jest następująca :
Weźmy dwa ciągi \(\displaystyle{ (a_{n}),(b_{n})}\) które dla \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) są jednocześnie :
\(\displaystyle{ (a_{n}),(b_{n}) \rightarrow \pm \infty}\).

Czy prawdą jest że : \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{(a_{n})}\right)^{(b_{n})}=e}\) ?

[Jan Kraszewski]

W żadnym wypadku. Policz sobie granicę

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}.}\)

JK

[Milczek]

Racja, bezmyślna teza.

Zasugerowałem się tym że gdy mamy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (a_{n})= \pm \infty}\) to zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{(a_{n})}\right)^{(a_{n})}=e}\)

[Dasio11]

Ale nietrudno pokazać, że jeśli dodatkowo

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = \alpha,}\)

to

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{b_n} = e^{\alpha}.}\)

Czyli liczy się wyłącznie to, jak szybko względem siebie rosną (lub maleją) te ciągi.