supremum iloczynu zbiorów

[Julian1998]

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\) są ograniczone, \(\displaystyle{ A,B \subset \left[ 0,+ \infty \right]}\), to:

\(\displaystyle{ \sup \left( A \cdot B\right)=\left( \sup A\right) \cdot \left( \sup B\right)}\).

[szw1710]

A co umiesz w tej kwestii zrobić?

[Julian1998]

Wiem jak z definicji napisać \(\displaystyle{ \sup A}\) i \(\displaystyle{ \sup B}\), ale później nie wiem jak zrobić aby oba były równe.
Zrobiłem już przykłady z \(\displaystyle{ \sup A+\sup B}\), mnożenie \(\displaystyle{ \sup A}\) przez skalar i przypadek z \(\displaystyle{ \sup A \cup \sup B}\).
Trzeba było w nich dowieźć rzeczy podobne.
Jednak tego przykładu nie potrafię zrobić, nie wiem jak się zabrac, proszę o wykonanie w całości tego dowodu.

[szw1710]

Niech \(\displaystyle{ a\in A, b\in B}\). Wtedy \(\displaystyle{ a\le\sup A}\) oraz \(\displaystyle{ b\le\sup B}\). Więc \(\displaystyle{ ab\le\sup A\sup B}\). To prosta część. Druga jest równie prosta. Przechodzimy po lewej stronie do supremum wobec dowolności wyboru \(\displaystyle{ a,b}\).

Nad drugą nierównością zastanów się sam.

[Julian1998]

Nie wiem jak zrobić naprawdę.
Proszę jeśli możesz wykonaj cały dowód, będę bardzo wdzięczny.

[szw1710]

Nie zrobię tego, bo to demoralizuje i niczego się nie nauczysz. Naszą misją nie jest odrabianie zadań domowych.

W poprzedniej odpowiedzi dałem \(\displaystyle{ 90\%}\) gotowca pokazującego nierówność \(\displaystyle{ \sup(A\cdot B)\le\sup A\cdot\sup B.}\) Dokończ to - wystarczy pół zdania.

Poczytaj o własnościach kresów zbiorów i spróbuj samodzielnie. Tylko wtedy możesz liczyć na pomoc.