Granica funkcji z de l'Hospitala.

[arabv]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty }\left[ x-x^{2} \cdot \ln \left( 1+ \frac{1}{x} \right) \right]}\)

Dzieliłem przez \(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{2} }}\) - nie wychodzi. Rozbijałem na różnicę granic - nie wychodzi. Od wczoraj nie mogę nic wymyśleć, jakiś pomysł? Wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) .

[a4karo]

Może się przydać fakt, że \(\displaystyle{ x=\ln e^x}\)

[Premislav]

Można również udowodnić nierówności:
\(\displaystyle{ t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3} \ge \ln\left( 1+t\right) \ge t-\frac{t^2}{2}}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\),
podstawić \(\displaystyle{ t=\frac 1 x}\) i dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac 1 2-\frac 3 x\le x-x^2\ln\left( 1+\frac 1 x\right) \le \frac 1 2}\),
co w połączeniu z twierdzeniem o trzech funkcjach kończy rozwiązanie zadania.

[janusz47]

Podstaw:

\(\displaystyle{ t = 1 +\frac{1}{x}, \ \ x = \frac{1}{t-1} , \ \ t\rightarrow 1^{+}.}\)

i zastosuj dwukrotnie regułę H.