Wyznaczanie kresów zbioru

[adda16]

Pokręciłem to wszystko.. Nadal jest źle. Cały sposób mam chyba zły, bo przecież tu chodzi właśnie o to, że zawsze się znajdzie takie \(\displaystyle{ a}\), że będzie spełniało tę nierówność. Nie wiem jak to pokazać.

[a4karo]

Mnie też chyba poćmiło. Przecież Twój argument niczego nie dowodzi, a prawa strona nie jest ujemna.

Masz pokazać, że żądna liczba dodatnia \(\displaystyle{ a}\) nie ogranicza zbioru od góry. No to weź dowolne \(\displaystyle{ a>0}\) i znajdź takie \(\displaystyle{ n,m}\), że \(\displaystyle{ \frac{n}{m}+\frac{m}{n}>a}\).

Wskazówka 1: wystarczy \(\displaystyle{ m=1}\)
Wskazówka 2: już tu ktoś napisał to rozwiązanie

[adda16]

Niech \(\displaystyle{ m=1}\). Weźmy dowolne \(\displaystyle{ a>2}\).

Wtedy

\(\displaystyle{ \frac{n}{m}+\frac{m}{n}>a \\ \\ n+\frac{1}{n}>a}\)

bo \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (n+ \frac{1}{n} )= \infty}\)

Czyli dla każdego \(\displaystyle{ a>2}\) znajdziemy takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ a}\) będzie mniejsze od \(\displaystyle{ n+ \frac{1}{n}}\), więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest ograniczony z góry.

W sumie wcześniej jakoś tego nie widziałem, ale chyba jak zapiszę to w ten sposób to nikt nie powinien się przyczepić.

Dziękuję.

[a4karo]

Widziałeś, bo nawet skomentowałeś ten sposób podany przez Janusza Tracza.

[adda16]

Nie widziałem, że to tak działa - że nie trzeba tego jakoś bardziej argumentować. Dzięki jeszcze raz.