Granica w punkcie

[NinjagoB]

Proszę o pomoc w obliczeniu granicy
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}(1+sinx) ^{ \frac{1}{x} }}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (1+\sin x)^{\frac 1 x}= \lim_{x \to 0} e^{ \frac{\ln(1+\sin x)}{x} }=\\= \lim_{x \to 0} e^{ \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} }}\)

Teraz przypomnij sobie granice specjalne:
\(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}=1\\ \lim_{ t\to 0} \frac{\sin t}{t}=1}\)
i skorzystaj z ciągłości \(\displaystyle{ f(u)=e^u}\).

[NinjagoB]

i skorzystaj z ciągłości \(\displaystyle{ f(u)=e^u}\).

Czyli w tym momencie nie mogę jeszcze napisać, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} e^{ \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} } = e}\) tylko powinnam najpierw skomentować że funkcja \(\displaystyle{ e^{u}}\) jest ciągła?

[Premislav]

Zapewne nie straciłabyś punktów za niewspomnienie o ciągłości odpowiedniej funkcji, niemniej jednak jest to potrzebne by uznać rozumowanie za pełne.

[NinjagoB]

Rozumiem, dzięki za pomoc.