Proszę o pomoc w obliczeniu granicy
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}(1+sinx) ^{ \frac{1}{x} }}\)
Granica w punkcie
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Granica w punkcie
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (1+\sin x)^{\frac 1 x}= \lim_{x \to 0} e^{ \frac{\ln(1+\sin x)}{x} }=\\= \lim_{x \to 0} e^{ \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} }}\)
Teraz przypomnij sobie granice specjalne:
\(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}=1\\ \lim_{ t\to 0} \frac{\sin t}{t}=1}\)
i skorzystaj z ciągłości \(\displaystyle{ f(u)=e^u}\).
Teraz przypomnij sobie granice specjalne:
\(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}=1\\ \lim_{ t\to 0} \frac{\sin t}{t}=1}\)
i skorzystaj z ciągłości \(\displaystyle{ f(u)=e^u}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 3 lis 2017, o 18:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 8 razy
Re: Granica w punkcie
Czyli w tym momencie nie mogę jeszcze napisać, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} e^{ \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} } = e}\) tylko powinnam najpierw skomentować że funkcja \(\displaystyle{ e^{u}}\) jest ciągła?Premislav pisze:i skorzystaj z ciągłości \(\displaystyle{ f(u)=e^u}\).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Granica w punkcie
Zapewne nie straciłabyś punktów za niewspomnienie o ciągłości odpowiedniej funkcji, niemniej jednak jest to potrzebne by uznać rozumowanie za pełne.