Wykazać, że granica ciągu nie istnieje.

[Maciek414]

Hej, mam pokazać, że granica ciągu nie istnieje.
Zastanawiam się czy takie wyznaczenie, w domyśle, "wzoru ogólnego", w którym częściowo przechodzę już w granicę ale nie do końca, i potem wykorzystanie go do obliczenia granic podciągów jest dozwolone?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( 1+ \frac{n}{n^2+ \sqrt{n} } \right) ^{n \cdot \cos \left( \frac{n \pi }{3} \right) } =\\
\lim _{\:n\to \:\infty \:\:}\left(1+\:\frac{1}{\frac{n^2+\:\sqrt{n}\:}{n}}\:\right)^{\frac{n^2+\:\sqrt{n}\:}{n}\cdot \frac{n}{n^2+\:\sqrt{n}}\cdot \:n\cdot \:\cos \left(\:\frac{n\:\pi \:\:}{3}\:\right)\:}=\\
\left[e\:^{\frac{n^2}{n^2+\:\sqrt{n}}\cdot \:\:\cos \left(\:\frac{n\:\pi \:\:\:}{3}\:\right)}\:\right]=\\
\left[e\:^{1\cdot \:\:\cos \left(\:\frac{n\:\pi \:\:\:}{3}\:\right)}\:\right]}\\ \\

\left[e\:^{1\cdot \:\:\cos \left(\:\frac{6n\:\pi \:\:\:}{3}\:\right)}\:\right]=\left[e\:^{1\cdot \:\:\cos \left(\:2n\:\pi \:\:\:\:\right)}\:\right] = e^1 \\
\left[e\:^{1\cdot \:\:\cos \left(\:\frac{\left(6n+3\:\right)\pi \:\:\:\:}{3}\right)}\:\right]=\left[e\:^{1\cdot \:\:\cos \left(\:2n\pi \:\:+\pi \:\:\right)}\:\right]=e^{-1}}\)


2 pytanie.
Ponownie wykazać, że granica nie istnieje.
\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\sin \left(n\right)}\)
Do tego jest "wskazówka" by doprowadzić do sprzeczności takie równanie:
Jeśli \(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\sin \left(n\right) = g}\)
to \(\displaystyle{ g=\lim _{n\to \infty }\sin \left(n+1\right)=\lim \:_{n\to \:\infty \:}\left(\sin \left(n\right)\cos \left(1\right)+\cos \left(n\right)\sin \left(1\right)\right)}\)

ale zastanawiam się czy tu nie wystarczy po prostu pokazać, że np takie podciągi mają różne granice:
\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(360n+45\right)\right) \neq \lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(360n+30\right)\right)}\)

Z góry serdecznie dziękuję!

[Premislav]

Ale argumenty sinusa są tu w radianach, więc to nic nie da. \(\displaystyle{ 360^{\circ}}\) to nie jest \(\displaystyle{ 360}\) radianów.
Jeśli chodzi o tego nieszczęsnego sinusa, tutaj jest ładny pomysł:
... -czesc-ii/
tam jest wprawdzie \(\displaystyle{ \cos n}\), ale podobne sztuczki trygonometryczne zadziałają i w tym przypadku.

Co do pierwszego przykładu, nie wolno bez dodatkowego uzasadnienia w jednym miejscu przechodzić do granicy, a w drugim nie (w ogóle polecam wystrzegać się czegoś takiego), ja bym tu przyznał zero punktów.
Ja proponuję spojrzeć na podciągi \(\displaystyle{ a_{6n}}\) i \(\displaystyle{ a_{6n+3}}\)
Mamy \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{6n\pi}{3}\right) =1}\), natomiast \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{(6n+3)\pi}{3}\right) =-1}\), ponadto jeśli
\(\displaystyle{ b_n=\left( 1+\frac{n}{n^2+\sqrt{n}}\right)^n}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }b_n=e}\), zatem gdy
\(\displaystyle{ a_n=\left( 1+\frac{n}{n^2+\sqrt{n}}\right)^{n\cos\left( \frac{n\pi}{3}\right) }}\),
to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_{6n}=e\neq \lim_{n \to \infty }a_{6n+3}=e^{-1}}\)