Przestrzeń metryczna - równoważne wyrażenia

[relic]

Pokazać, że podane wyrazenia sa rownoważne dla przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ \left( X, d\right)}\)

1) Dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty lub \(\displaystyle{ X \setminus A}\) jest otwarty

2) jest co najwyżej jeden element \(\displaystyle{ x \in X}\), że \(\displaystyle{ \{x\}}\) jest nieotwarty

Jakaś podpowiedź do implikacji z 1 do 2?

[Dasio11]

Podpowiedź: weź dowolne dwa różne punkty \(\displaystyle{ x, y \in X}\) i korzystając z tego, że przestrzeń jest metryczna, znajdź rozłączne i otwarte \(\displaystyle{ U, V \subseteq X,}\) takie że \(\displaystyle{ x \in U \ \& \ y \in V.}\)

[relic]

no takie \(\displaystyle{ U}\)i \(\displaystyle{ V}\)można łatwo znaleźć, wystarczy wziąć kule o o środkach w \(\displaystyle{ }\) i \(\displaystyle{ y}\) i promieniach takich, ze ich suma jest mniejsza niż odległość między \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\). Może jakaś kolejna podpwiedź, bo nic nie udaje mi się zauważyć.

[Dasio11]

Rozważ \(\displaystyle{ A = \{ x \} \cup (V \setminus \{ y \}).}\) Celem jest pokazanie, że \(\displaystyle{ \{ x \}}\) jest otwarty lub \(\displaystyle{ \{ y \}}\) jest otwarty, co wobec dowolności \(\displaystyle{ x, y}\) oznacza, że najwyżej jeden singleton może nie być otwarty.