Granica ciągu z liczbą e

[adda16]

Czy takie rozwiązanie jest poprawne?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^{n^4} }{ \left( 3+ \frac{3}{n^4} \right) ^{n^2} }=
\lim_{n \to \infty } \left( \frac{ \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^{n^2} }{3+ \frac{3}{n^4} } \right) ^{n^2}=
\left[ \frac{e}{3} \right]^ \infty=0}\)

bo \(\displaystyle{ \frac{e}{3} <1}\)

[leg14]

nie, takich rzeczy robić nie można. Proponuję wykorzystać równość \(\displaystyle{ (1 +x)^m = e^{m \cdot \ln (1+x))}}\)

[Premislav]

A ja proponuję zauważyć, że
ciąg \(\displaystyle{ a_n=\left( 1+\frac 1 n\right)^n}\) jest rosnący, zatem (ponieważ znamy, czy też raczej zdefiniowaliśmy, jego granicę)
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}<e}\), a ponadto \(\displaystyle{ 3+ \frac{3}{n^4} >3}\), więc całość można oszacować z góry przez
\(\displaystyle{ \left( \frac{e}{3}\right)^{n^2}}\) (z dołu np. przez \(\displaystyle{ 0}\)) i skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach (jak pijany kibol znajduje się między dwoma policjantami i policjanci kierują swe kroki na komisariat, to kibol też zmierza w stronę komisariatu).-- 4 lis 2017, o 14:19 --Poza tym powyżej pierwszego semestru takie skróty myślowe, jak u adda16, jak najbardziej mają zastosowanie, choć nie jest to w pełni poprawne. Ale na pierwszym semestrze trzeba się zwykle trochę naepsilonować.

[Dasio11]

Jedynym nietrywialnym faktem, z którego korzysta pierwotne rozwiązanie, jest: jeśli

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = a \in (0, 1) \quad \text{oraz} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = \infty,}\)

to

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n} = 0.}\)

Rozwiązanie jest więc całkowicie poprawne, jeśli tylko wolno użyć tego faktu (a jest to wysoce prawdopodobne, bo ów fakt jest blisko spokrewniony ze standardową arytmetyką granic). Ale jeśli nie, to dowodzi się go z trzech ciągów, tak jak pisze Premislav.