Oblicz granicę ciągu

[NinjagoB]

\(\displaystyle{ a_{n} = (0,99...9) ^{10 ^{n} }}\) przy czym 9 w części ułamkowej jest n.

[a4karo]

Napisz to \(\displaystyle{ 0.99999...}\) w postaci \(\displaystyle{ 1-?????}\)

[NinjagoB]

\(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1 - \frac{1}{10 ^{n} } \right) ^{10 ^{n} } = \left( \frac{10 ^{n} - 1 }{10 ^{n} } \right) ^{10 ^{n} } = \left[ \left( 1 + \frac{1}{10 ^{n} -1 } \right) ^{10 ^{n} } \right] ^{-1} = e ^{-1}}\)
Dobrze?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1 - \frac{1}{10 ^{n} } \right) ^{10 ^{n} }}\)

Dobrze.

\(\displaystyle{ \left( \frac{10 ^{n} - 1 }{10 ^{n} } \right) ^{10 ^{n} } = \left[ \left( 1 + \frac{1}{10 ^{n} -1 } \right) ^{10 ^{n} } \right] ^{-1} {\red{=}} e ^{-1}}\)

Zapis kiepski, ale intencje słuszne.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( 1 - \frac{1}{10 ^{n} } \right) ^{10 ^{n} }=\lim_{n \to \infty }\left( \left( 1 + \frac{1}{-10 ^{n} } \right) ^{-10 ^{n} }\right)^{-1} =e^{-1}}\)