Kilka dowodów własności n-sympleksów

[mysticcc]

Studiując topologię algebraiczną Munkresa (pdfa można znaleźć w google) natknąłem się na problemy z pewnymi dowodami własności n-sympleksów, mianowicie:

1. Udowodnij, że dla danego \(\displaystyle{ n}\)-sympleksu \(\displaystyle{ \sigma}\) generowanego przez \(\displaystyle{ a_0, a_1, \ldots, a_n}\) zbiór \(\displaystyle{ Int (\sigma)}\) jest wypukły i otwarty w płaszczyźnie \(\displaystyle{ P}\) generowanej przez wierzchołki \(\displaystyle{ \sigma}\), zaś jego domknięciem jest \(\displaystyle{ \sigma}\). Udowodnij też, że \(\displaystyle{ Int (\sigma)}\) jest sumą mnogościową wszystkich otwartych odcinków łączących \(\displaystyle{ a_0}\) z punktami zbioru \(\displaystyle{ Int (s)}\), gdzie \(\displaystyle{ s}\) jest ścianą \(\displaystyle{ \sigma}\) leżącą naprzeciw \(\displaystyle{ a_0}\). (głównie chodzi o otwartość i domknięcie)

2.Udowodnij, że dla danego \(\displaystyle{ n}\)-sympleksu \(\displaystyle{ \sigma}\) generowanego przez punkty \(\displaystyle{ a_0, a_1, \ldots, a_n}\) i dla ściany \(\displaystyle{ s}\) generowanej przez wierzchołki \(\displaystyle{ a_0, a_1, \ldots, a_p}\), gdzie \(\displaystyle{ p < n}\), oraz ściany \(\displaystyle{ t}\) generowanej przez wierzchołki \(\displaystyle{ a_{p+1}, a_{p+2}, \ldots, a_n}\):
i. \(\displaystyle{ \sigma}\) jest sumą mnogościową odcinków łączących punkty ściany \(\displaystyle{ s}\) z punktami ściany \(\displaystyle{ t}\) i każde dwa takie odcinki przecinają się w co najwyżej jednym punkcie;
ii. \(\displaystyle{ Int (\sigma)}\) jest sumą mnogościową otwartych odcinków łączących punkty \(\displaystyle{ Int (s)}\) z punktami \(\displaystyle{ Int (t)}\). (chodzi o przecinanie w jednym punkcie + inkluzje w stronę \(\displaystyle{ \sigma}\) zawarte w sumie odcinków- i. oraz ii. robi się tym samym schematem)

3.Niech zbiór \(\displaystyle{ U \subset \mathbb{R}^n}\) będzie ograniczony i otwarty. \(\displaystyle{ U}\) nazywamy gwiaździście wypukłym względem punktu \(\displaystyle{ 0}\), jeżeli dla każdego punktu \(\displaystyle{ x \in U}\) odcinek łączący \(\displaystyle{ 0}\) z punktem \(\displaystyle{ x}\) jest zawarty w \(\displaystyle{ U}\). Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ U}\) jest zbiorem gwiaździście wypukłym względem \(\displaystyle{ 0}\), to promień wychodzący z \(\displaystyle{ 0}\) może przeciąć \(\displaystyle{ Bd(U)}\) w więcej niż jednym punkcie oraz że \(\displaystyle{ \overline{U}}\) (domknięcie) nie musi być homeomorficzne z \(\displaystyle{ B^n}\) (kula \(\displaystyle{ n}\)-jednostkowa). (nie mam żadnego pomysłu jak to zrobić)

[leg14]

Jak definiujesz n-sympleks i co to jest \(\displaystyle{ Bd(U)}\)

[mysticcc]

Jeżeli zbiór punktów \(\displaystyle{ \{a_0,a_1,\ldots,a_n\}\subset \mathbb{R}^n}\) jest geometrycznie niezależny, to \(\displaystyle{ n}\)-sympleksem generowany przez ten zbiór punktów nazywamy zbiór \(\displaystyle{ \sigma=\{x \in \mathbb{R}^n : x = \sum_{i=0}^n t_ia_i, t_0,\ldots,t_n \in \mathbb{R}, \sum_{i=0}^n t_i =1, t_0 \geq 0, t_1 \geq 0, \ldots t_n \geq 0\}}\).
Sympleks generowany przez pewien podzbiór \(\displaystyle{ \{a_0,a_1,\ldots,a_n\}}\) nazywamy ścianą sympleksu \(\displaystyle{ \sigma}\). Ścianą właściwą nazywamy ścianę \(\displaystyle{ \sigma}\) różną od \(\displaystyle{ \sigma}\). Sumę mnogościową wszystkich ścian właściwych nazywamy brzegiem sympleksu \(\displaystyle{ \sigma}\) i oznaczamy \(\displaystyle{ Bd( \sigma)}\).
Definicje zgodne z książką Munkresa.

[leg14]

A co to jest Bd(U) w kontekscie zbioru gwiazdzistego?

Na Twoim miejscu bym udowodnił wymienione przez Ciebie podpunkty dla standardowych n-sympleksow - standardowy n-sympleks to podzbior \(\displaystyle{ \RR^{n+1}}\) złożony z tych punktów \(\displaystyle{ (t_0,..,t_n) \in \RR}\), że \(\displaystyle{ t_i>=0 \wedge \sum_{}^{} t_i =1}\). Później pomyślisz o tym jak uogólnić to na dowolny sympleks. (zresztą wszystko co jest w tej książce da się zrobić tylko przy użyciu standardowych sympleksów). Np. to, że standarowy n-sympleks jest domknięty w \(\displaystyle{ \RR^{n+1}}\):
robisz przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi: \RR^{n+1} \rightarrow \RR}\)
\(\displaystyle{ \varphi(t_0,..,t_n) = t_0+...+t_n}\) no i wtedy Twój sympleks to przecięcie \(\displaystyle{ \varphi^{-1}(1)}\) z ćwiartką układu współrzędnych (a oba te zbiory są domknięte).


Edit : oczywiście standardowy n-sympleks jest generowany przez punkty \(\displaystyle{ e_i}\), gdzie \(\displaystyle{ e_i}\) ma na i-tym miejscu jedynkę, a na pozostałych zera/.

[mysticcc]

Najprawdopodobniej traktowane jest jako \(\displaystyle{ Bd(U)=\overline{U}\setminus U}\).

[leg14]

Co to podpunktu 3. to ja bym wziął najpierw zbiór (w \(\displaystyle{ \RR^2}\)) \(\displaystyle{ X = \bigcup_{n \in \NN}^{} I_n}\) gdzie \(\displaystyle{ I_n}\) to odcinek łączący \(\displaystyle{ \left( 0,0 \right)}\) z \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n} ,1 \right)}\) i troszkę ,,pogrubił" te odcinki tak, żeby z tego się zrobił zbiór otwarty( w szczególności musisz dodać otoczenie zera).