Dwa samochody i skrzyżowanie

[KrolKubaV]

Witam, prosiłbym o wskazówkę do poniższego zadania:

Dwa samochody zbliżają się do skrzyżowania dwóch prostopadłych jezdni. Szybkości obu samochodów wynoszą odpowiednio: \(\displaystyle{ v_{1}}\) i \(\displaystyle{ v_{2}}\). W chwili, gdy samochód nr \(\displaystyle{ 1}\) osiąga punkt leżący na skrzyżowaniu jezdni, odległość między samochodami wynosi \(\displaystyle{ d}\). Jaka jest najmniejsza odległość pomiędzy samochodami w trakcie ruchu?

Z góry dziękuję za pomoc.

[AiDi]

Zrób porządny rysunek. Zwiąż układ odniesienia z samochodem nr 1. W tym układzie odniesienia prędkość samochodu drugiego wynosi \(\displaystyle{ \vec{v}_2'=\vec{v}_2-\vec{v}_1}\). Narysuj sobie tę prędkość (znajdź ją wykonując powyższe odejmowanie wektorów geometrycznie). Prosta na której ona leży to prosta po której będzie się ten samochód. Znajdź odległość tej prostej od samochodu 1, czyli początku układu współrzędnych.

[pesel]

Na dobrą sprawę nie wiadomo czy auta poruszają się po tej samej drodze czy po drogach prostopadłych względem siebie. No i czy auto nr 1 jest tym pierwszym, które wjechało na skrzyżowanie. No i czy po skrzyżowaniu zachowują dotychczasowy tor jazdy.

[AiDi]

No i czy po skrzyżowaniu zachowują dotychczasowy tor jazdy.

Tak, dla pełności zadania powinniśmy rozważyć ruch po dowolnej krzywej gładkiej... To zadanie wrzucił 16-latek, trochę domyślności Jest średniozaawansowane, ale do bólu typowe (no przynajmniej jeśli się w życiu przerobiło np. zbiór pana Kruczka). Gdyby nie poruszały się po drogach prostopadłych to nie byłoby sensu mówić o skrzyżowaniu i zadanie generalnie byłoby banalne: wynik to albo \(\displaystyle{ 0}\) albo \(\displaystyle{ d}\). Jak ktoś sobie lubi pokombinować to może rozpatrzeć dwa przypadki, choć dla mnie raczej autor zadania zakłada, że samochód nr 1 jest pierwszym na skrzyżowaniu. Mam nawet wrażenie, że oba przypadki dadzą tę samą odpowiedź.

[pesel]

Tak, dla pełności zadania powinniśmy rozważyć ruch po dowolnej krzywej gładkiej...

Myślałem raczej o wykonaniu skrętu pod kątem prostym przez jeden/oba pojazdy w wybranym kierunku.

[wins]

Dla auta pierwszego
\(\displaystyle{ x _{1}(t) =v _{1} t}\)
\(\displaystyle{ y _{1}(t) =0}\)
Dla auta drugiego
\(\displaystyle{ x _{2}(t) =0}\)
\(\displaystyle{ y _{2}(t) =-d+v _{2}t}\)
Odległość aut
\(\displaystyle{ l(t)= \sqrt{(x _{2}(t)-x _{1}(t)) ^{2} +(y _{2}(t)-y _{1}(t)) ^{2} }}\)
Dla minimum musi być spełniony warunek:
\(\displaystyle{ \mbox{d}l(t)/ \mbox{d}t=0}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d} ^{2} l(t)/ \mbox{d}t ^{2} >0}\)

[AiDi]

Ostatni warunek jest chyba nie tak - druga pochodna musi być dodatnia. Poza tym zadanie można (a nawet trzeba, biorąc pod uwagę wiek zakładającego temat) rozwiązać bez pochodnych. Da się, wystarczy pomysł o którym już pisałem i zwykła geometria.

[wins]

Zgada się dodatnia powinna być (ach ten CTRL+C i CTRL+V). Panie AiDi są szkoły średnie w których w klasie pierwszej uczniowie operują na pochodnych stąd ta propozycja rozwiązania.

[kruszewski]

Z obrazka można wyprowadzić wniosek, że odległość \(\displaystyle{ l}\) największa między autami jest znacznie większa niż \(\displaystyle{ d}\).
\(\displaystyle{ l>>d}\) i zależy tylko od długości ulic. Funkcja jest wypukła, i nie ma maksimum.
Odległość między autami mniejsza niż \(\displaystyle{ d}\) zachodzi wtedy kiedy auto znajdujące się w środku skrzyżowania pojedzie dalej swoją ulicą a drugie będzie dojeżdżać do środka skrzyżowania.
Odległość między autami z tw. Pitagorasa określa równanie:

\(\displaystyle{ l= \sqrt{(d-v_2 \cdot t)^2 + (v_1 \cdot t)^2 }}\) ........ (1)
gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest czasem jazdy aut mierzonym od chwili w której auto pierwsze mija środek skrzyżowania.
funkcja l(t) osiąga lokalne ekstremum dla \(\displaystyle{ \frac{dl}{dt} =0}\)
różniczkując podług czasu \(\displaystyle{ t}\) równanie (1) , zauważamy że dla zerowania się pochodnej wystarczy by pochodna (wewnętrzna), czyli pochodna wyrażenia pod pierwiastkiem była równa zero.

\(\displaystyle{ \left( (d-v_2t)^2 + v^2_1t^2 \right)'=0}\) .....(2)

\(\displaystyle{ 2(d-v_2 t)v_2 + 2 v^2_1t =0}\)

\(\displaystyle{ v^2_2t - v_2d =v^2_1t}\)
\(\displaystyle{ t(v^2_2-v^2_1)=v_2 \cdot d}\)
\(\displaystyle{ t=d \frac{v_2}{v^2_2-v^2_1 }}\) .....(3)
Znając czas ruchu (rozjazdu ze skrzyżowania) aut i prędkość każdego z nich podstawiając wynik z (3) do (1) otrzymamy poszykiwaną najmniejszą odległość.

[AiDi]

To teraz sposób bez pochodnych. Przepraszam za jakość, ale na tyle leniwy jestem, że wolałem tak niż komputerowo.

1. Tak jak pisałem wcześniej, dobrym wyjściem jest przejście do układu odniesienia związanego z którymś z samochodów. Ja wybrałem samochód nr 2 (po napisaniu posta zauważyłem, że w pierwszym poście w tym temacie radziłem inaczej, no trudno). Rysunek po lewej przedstawia sytuację w układzie związanym z ulicą. Rysunek po prawej sytuację w układzie związanym z samochodem drugim. Przy przejściu z układu \(\displaystyle{ \mathcal{O}}\) do układu który względem niego się porusza z prędkością \(\displaystyle{ \vec{v}_u}\), prędkość transformuje się następująco: \(\displaystyle{ \vec{v}'=\vec{v}-\vec{v}_u}\). Tutaj mamy: \(\displaystyle{ \vec{v}_1'=\vec{v}_1-\vec{v}_2}\). Jej kierunek zaznaczony jest na rysunku na hehe różowo. \(\displaystyle{ l}\) to szukana najmniejsza odległość.
2. Teraz trochę geometrii:
\(\displaystyle{ \frac{l}{d}=\sin\alpha}\),
oraz:
\(\displaystyle{ \frac{v_1}{v_1'}=\sin\alpha}\),
gdzie \(\displaystyle{ v_1'=\sqrt{v_1^2+v_2^2}}\).
Małe kombinejszyn i wychodzi:
\(\displaystyle{ l=d\frac{v_1}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}}\).
3. Uzasadnienie powyższego postępowania: odległości między punktami są niezmiennicze ze względu na transformacje Galileusza. Dlatego warto tak wybierać układy odniesienia, by któreś z rozpatrywanych ciał spoczywało.

[kruszewski]

Świetne, wielce pomysłowe rozwiązanie. Względność ruchu to potęga. Ma tylko jeden feler. Wymaga wobraźni a tej czasami brakuje.