[Nierówności]Z tegorocznego obozu OMJ poz. OM

[WolfusA]

\(\displaystyle{ a, b, c, d \in R_+ \wedge a+b+c+d\le 2 \wedge ab+bc+cd+da\ge 1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left| a-b+c-d\right|\le \frac{1}{16}}\)

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ 1\le (a+c)(b+d)\le\left(\frac{(a+c)+(b+d)}{2}\right)^2\le 1}\)

[Premislav]

Ukryta treść:    

Innymi słowy z założenia mamy:
\(\displaystyle{ (a+c)+(b+d) \le 2 \wedge (a+c)(b+d)\ge 1}\)
Połóżmy \(\displaystyle{ x=a+c, \ y=b+d}\). Przy warunkach \(\displaystyle{ x>0, \ y>0, \ x+y\le 2, \ xy\ge 1}\) należy wykazać, że \(\displaystyle{ |x-y| \le \frac{1}{16}}\)
Bez straty ogólności (symetria) niech \(\displaystyle{ x\ge y}\), wtedy teza przyjmuje formę
\(\displaystyle{ x\le y+\frac{1}{16}}\)

Ponadto mamy \(\displaystyle{ 1 \ge \left( \frac{x+y}{2}\right)^2 \ge xy\ge 1}\)
czyli muszą zachodzić równości. Więc \(\displaystyle{ x=y}\)

-- 2 lis 2017, o 19:23 --Ech, spóźniony jak przez całe życie.

[WolfusA]

Ale tak naprawdę, to zadanie jest raczej na panikę (ew. umiejętność podstawiania), bo jak wyżej otrzymujemy \(\displaystyle{ a+c=b+d}\), czyli \(\displaystyle{ \left| a-b+c-d\right|=\left| (a+c)-(b+d)\right| = 0 \le \frac{1}{16}}\). Dałem to zadanie, bo nie wiedziałem, czy tylko ze mną jest coś nie tak, że od razu wychodzi.