Dzielniki Zera w pierścieniach

[Hornecik]

Cześć.

Mam pewien problem ze zrozumieniem dzielników zera i ich wyznaczaniem. Jest to dla mnie za bardzo abstrakcyjne, że dwie liczby róże od zera przy mnożeniu dają zero, na pewno źle na to patrze i szału dostaję jak widzę, że \(\displaystyle{ 2 \cdot 3=0}\).

Proszę niech mi ktoś wytłumaczy na przykładzie pierścienia \(\displaystyle{ \ZZ _{8}}\), dlaczego \(\displaystyle{ 2,4}\) i \(\displaystyle{ 6}\) są dzielnikami zera, a \(\displaystyle{ 3}\) już nie.

[szw1710]

To wynika z działań modulo. Pomnóż \(\displaystyle{ 2\cdot 4}\). Pomnóż \(\displaystyle{ 3}\) przez dowolną liczbę z \(\displaystyle{ \ZZ_8}\). Oczywiście działania modulo \(\displaystyle{ 8}\).

Bardzo dużo dzielników zera jest w pierścieniach funkcyjnych. Np. niech \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\) będzie dowolną funkcją mającą miejsce zerowe, ale nie tożsamościowo równą zeru. Niech \(\displaystyle{ g(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x}\) takich, że \(\displaystyle{ f(x)\ne 0}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) ma dowolną wartość niezerową (np. \(\displaystyle{ 1}\)) tam, gdzie \(\displaystyle{ f(x)=0}\). Zawsze \(\displaystyle{ f(x)g(x)=0}\).

[Hornecik]

Dobra, to już mniej więcej rozumiem te dzielniki zera, teraz jeszcze mam sprawę dotyczącą elementów odwrotnych. Weźmy na przykład \(\displaystyle{ \ZZ_5}\) i ten pierścień jest podobno ciałem przemiennym. Jak udowodnić, to że jest ciałem? Znam warunek, ale nie do końca rozumiem. W tym warunku jest takie coś, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \ZZ_5 \setminus \left\{ 0\right\}}\) istnieje jego odwrotność taka, że \(\displaystyle{ x \cdot x^{-1} =1= x^{-1} \cdot x}\). Jak ja mam to rozumieć? Bo jak na to patrzę i biorę na przykład \(\displaystyle{ 2}\) to nie widzę do niego elementu odwrotnego.

[szw1710]

Tak jak piszesz, pierścień \(\displaystyle{ P}\) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element niezerowy z \(\displaystyle{ P}\) jest odwracalny, innymi słowy \(\displaystyle{ P^*=P\setminus\{0\}}\). Dowodzi się, że pierścień \(\displaystyle{ \ZZ_p}\) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą.

Jak widać, w ciałach nie ma dzielników zera. Ale ten brak nie determinuje ciała. Takie pierścienie (bez dzielników zera) nazywamy całkowitymi (ciekawe jest nazewnictwo angielskie - integral domain, które przy pierwszym zapoznaniu bardziej kojarzyło mi się z całkami i jakimiś dziedzinami całkowania, choć i w algebrze stosuje się czasem nazwę dziedzina całkowitości na pierścień całkowity). Pierścieniem całkowitym, ale nie ciałem, jest np. \(\displaystyle{ \ZZ}\) ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia. Zauważ, że w \(\displaystyle{ \ZZ}\) odwracalne są jedynie \(\displaystyle{ \pm 1}\), więc \(\displaystyle{ \ZZ}\) na pewno ciałem nie jest.

W \(\displaystyle{ \ZZ_5}\) masz \(\displaystyle{ 2\cdot 3=1}\). Co jest elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ 2}\)? Obawiam się, że oznaczenie \(\displaystyle{ x^{-1}}\) interpretujesz literalnie jak się nauczyłeś w szkole. A tu, w algebrze, to tylko oznaczenie. Istota sprawy jest taka, że \(\displaystyle{ b}\) jest elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ a}\), jeśli \(\displaystyle{ ab=ba=1}\). Wtedy oznaczamy \(\displaystyle{ b=a^{-1}}\).

[Hornecik]

Aaa, dobra już rozumiem Dzięki za pomoc