Dowód indukcyjny:Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\), większej od \(\displaystyle{ 2}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ \log_{3}(2) \cdot \log_{4}(3) \cdot \log_{5}(4) \cdot ... \cdot \log_{k+1}(k) = \log_{k+1}(2)}\)
krok pierwszy:
Sprawdźmy prawdziwość tezy dla pierwszej możliwej wartości \(\displaystyle{ k \rightarrow k=3}\):
\(\displaystyle{ \log_{3}(2)\cdot \log_{4}(3) = \frac{1}{2} = \log_{4}(2)}\)
krok drugi:
Udowodnijmy, że \(\displaystyle{ f(n) = f(n+1)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n = k}\)
\(\displaystyle{ P = \log_{3}(2) \cdot \log_{4}(3)\cdot ... \cdot \log_{3}(2)\log_{n+1}(n)\cdot \log_{n+2}(n+1) =
\log_{n+1}(2)\cdot \log_{n+2}(n+1) = \frac{\log_{n+2}(2)}{ \log_{n+2}(n+1)} \cdot \log_{n+2}(n+1) = \log_{n+2}(2)}\)
Zatem teza jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ k}\), które spełnia założenia zadania (\(\displaystyle{ k>2}\)).
Co kończy dowód indukcyjny.