O ile wiem jak wyznaczać okres podstawowy funkcji trygonometrycznych, to w tego typu nie wiem, od czego zacząć. Mam taką funkcję:
\(\displaystyle{ f(x) = x - [x]}\)
gdzie \(\displaystyle{ [x]}\) to część całkowita.
Liczę na wytłumaczenie tego przykładu
Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
Ostatnio zmieniony 1 lis 2017, o 22:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
Okresem podstawowym tej funkcji jest \(\displaystyle{ 1}\).
Nie wiem za bardzo, co tu tłumaczyć, myślę, że najlepiej by było, gdybyś narysował sobie fragment wykresu takiej funkcji (oczywiście to jeszcze nie jest dowód).
Nie wiem za bardzo, co tu tłumaczyć, myślę, że najlepiej by było, gdybyś narysował sobie fragment wykresu takiej funkcji (oczywiście to jeszcze nie jest dowód).
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
Pokaż, że \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)}\) oraz że dla każdego \(\displaystyle{ a\in(0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ f(x+a)\neq f(x)}\).
JK
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
Jeżeli naszkicujesz sobie fragment wykresu, to dojdziesz do wniosku, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ f(x+n)=f(x)}\). Oto dowód tej obserwacji:
\(\displaystyle{ f(x+n)=x+n-[x+n]}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ n \in \NN}\), więc \(\displaystyle{ [x+n]=[x]+n}\), a tak się dzieje, gdyż z jednej strony oczywiście \(\displaystyle{ x+n\ge [x]+n}\), a stąd \(\displaystyle{ [x+n]\ge [[x]+n]=[x]+n}\), natomiast z drugiej strony jest \(\displaystyle{ x+n<[x]+1+n}\), czyli \(\displaystyle{ [x+n]<[[x]+1+n]=[x]+1+n}\),
czyli \(\displaystyle{ [x+n]}\) jest liczbą całkowitą z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle [x]+n, [x]+1+n\right)}\),
zatem \(\displaystyle{ [x+n]=[x]+n}\).
W szczególności więc dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) jest \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)}\).
Z drugiej strony nie ma żadnych dwóch różnych liczb \(\displaystyle{ x,y}\) z przedziału \(\displaystyle{ [0,1)}\), dla których byłoby \(\displaystyle{ f(x)=f(y)}\), gdyż jeśli \(\displaystyle{ x in [0,1), yin [0,1)}\), to \(\displaystyle{ [x]=[y]=0}\), więc \(\displaystyle{ f(x)=f(y) \Leftrightarrow x-[x]=y-[y] \Leftrightarrow x=y}\).
Zatem okres podstawowy \(\displaystyle{ f}\) nie może być mniejszy niż \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ f(x+n)=x+n-[x+n]}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ n \in \NN}\), więc \(\displaystyle{ [x+n]=[x]+n}\), a tak się dzieje, gdyż z jednej strony oczywiście \(\displaystyle{ x+n\ge [x]+n}\), a stąd \(\displaystyle{ [x+n]\ge [[x]+n]=[x]+n}\), natomiast z drugiej strony jest \(\displaystyle{ x+n<[x]+1+n}\), czyli \(\displaystyle{ [x+n]<[[x]+1+n]=[x]+1+n}\),
czyli \(\displaystyle{ [x+n]}\) jest liczbą całkowitą z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle [x]+n, [x]+1+n\right)}\),
zatem \(\displaystyle{ [x+n]=[x]+n}\).
W szczególności więc dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) jest \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)}\).
Z drugiej strony nie ma żadnych dwóch różnych liczb \(\displaystyle{ x,y}\) z przedziału \(\displaystyle{ [0,1)}\), dla których byłoby \(\displaystyle{ f(x)=f(y)}\), gdyż jeśli \(\displaystyle{ x in [0,1), yin [0,1)}\), to \(\displaystyle{ [x]=[y]=0}\), więc \(\displaystyle{ f(x)=f(y) \Leftrightarrow x-[x]=y-[y] \Leftrightarrow x=y}\).
Zatem okres podstawowy \(\displaystyle{ f}\) nie może być mniejszy niż \(\displaystyle{ 1}\).
Re: Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
Już wiem, czemu mi to nie wychodziło - źle szkicowałem wykres funkcji
Narysowałem teraz ok i napisałem coś takiego:
"Z wykresu wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ t \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ f(x+t) = f(x)}\)
A więc okresem funkcji będzie każda liczba naturalna. Zatem okresem podstawowym będzie najmniejsza liczba naturalna, czyli \(\displaystyle{ 1}\)"
Bardzo ciekawie rozpisał to Premislav, ale czy moje wnioski też byłyby zaliczone jako poprawne, gdybym tak napisał na kolokwium (gdyby było takie zadanie)?
Narysowałem teraz ok i napisałem coś takiego:
"Z wykresu wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ t \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ f(x+t) = f(x)}\)
A więc okresem funkcji będzie każda liczba naturalna. Zatem okresem podstawowym będzie najmniejsza liczba naturalna, czyli \(\displaystyle{ 1}\)"
Bardzo ciekawie rozpisał to Premislav, ale czy moje wnioski też byłyby zaliczone jako poprawne, gdybym tak napisał na kolokwium (gdyby było takie zadanie)?
Ostatnio zmieniony 2 lis 2017, o 08:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
Jeszcze może dodam mały komentarz: liczba \(\displaystyle{ [x]+1+n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\), jest całkowita, dlatego też z \(\displaystyle{ x+n<[x]+1+n}\) wynika, że \(\displaystyle{ [x+n]<[[x]+1+n]}\) (ktoś mógłby pomyśleć, że utrzymuję, iż dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y}\) mamy \(\displaystyle{ x<y \Rightarrow [x]<[y]}\), co jest nieprawdą np. dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{7}, y=\frac 1 2}\)).
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sin\left( 4\pi x \right)}\) też spełnia \(\displaystyle{ f(x+t)=f(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ t \in \NN}\), ale jej okresem podstawowym jest \(\displaystyle{ \frac 1 2}\), a nie \(\displaystyle{ 1}\).
To jest niestety niewystarczające. Zauważ, co Pan Kraszewski i ja pisaliśmy o konieczności wykazania, że okres nie może być tu mniejszy niż \(\displaystyle{ 1}\)."Z wykresu wynika, że dla każdego\(\displaystyle{ t \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ f(x+t) = f(x)}\)
A więc okresem funkcji będzie każda liczba naturalna. Zatem okresem podstawowym będzie najmniejsza liczba naturalna, czyli \(\displaystyle{ 1}\)"
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sin\left( 4\pi x \right)}\) też spełnia \(\displaystyle{ f(x+t)=f(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ t \in \NN}\), ale jej okresem podstawowym jest \(\displaystyle{ \frac 1 2}\), a nie \(\displaystyle{ 1}\).