Wychodzi mi sprzeczność w rozumowaniu [zbiory]

[michal4293]

Witam,

Skoro zbiór potęgowy \(\displaystyle{ P(A)}\) Definiujemy:

\(\displaystyle{ P(A)=\{B : B \subseteq A\}}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ P(A) \subseteq A}\)

Zatem np. mamy zbiór złożony z \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\), tzn
\(\displaystyle{ A= \{1,2\}\\
P(A)= \{ \{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{\emptyset\} \}}\)

Na jakiej podstawie spełnione jest zawieranie \(\displaystyle{ P(A) \subseteq A}\)?

Wg mnie \(\displaystyle{ \{ \{1\}, \{2\}, \{1,2\} , \{ \emptyset \} \}}\) nie zawiera się w \(\displaystyle{ \{1,2\}}\).
Mogę napisać, jedynie, że wg mnie\(\displaystyle{ A \in P(A)}\).
Z tego co wiem jest to prawdą, nie jestem ekspertem w tej dziedzinie, proszę o wyjaśnienie na jakiej podstawie zachodzi \(\displaystyle{ P(A)=\{B : B \subseteq A\}}\) .
Dziękuję z góry

[szw1710]

Czyli: \(\displaystyle{ P(A) \subseteq A}\)

Np. \(\displaystyle{ P(\emptyset)=\{\emptyset\}\ne\emptyset}\) i wg Ciebie \(\displaystyle{ P(\emptyset)\subset\emptyset}\) więc zbiór niepusty jest podzbiorem zbioru pustego.

[michal4293]

Zgoda, ale zbiór niepusty nie jest podzbiorem zbioru pustego, więc P(A) nie zawiera się w A, więc

\(\displaystyle{ P(A) \subseteq A}\) jest trochę bez sensu. A mam to z dobrego źródła.

[Premislav]

No i o to właśnie chodziło szw1710. "Własność"
\(\displaystyle{ P(A) \subseteq A}\) jest kompletną bzdurą.

[michal4293]

Zgadzam się, ale czy \(\displaystyle{ P(A) \subseteq A}\)
nie wynika z
\(\displaystyle{ P(A) = B : B \subseteq A}\) ?

co jest wyjęte żywcem z dwóch skryptów różnych autorów.

[Premislav]

Nie, absolutnie nie wynika.
\(\displaystyle{ P(A) =\left\{ B : B \subseteq A\right\}}\)
to w zasadzie jest definicja zbioru potęgowego. Przecież z tego, że
\(\displaystyle{ B\subseteq A}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ B\in A}\) Mam wrażenie, że mylisz zawieranie z należeniem lub nie znasz definicji zawierania zbiorów.

[Jan Kraszewski]

co jest wyjęte żywcem z dwóch skryptów różnych autorów.

Coś mi się nie chce wierzyć... To jest zupełna bzdura choćby z przyczyn mocowych.

JK

[Premislav]

Ale michal4293 zapewne miał na myśli to, że w skryptach znalazł
\(\displaystyle{ P(A) =\left\{ B : B \subseteq A\right\}}\), po czym błędnie wywnioskował stąd nieprawdziwe stwierdzenie, o którym tu dyskutujemy.

-- 1 lis 2017, o 21:11 --

Swoją drogą argument "mocowy" (\(\displaystyle{ |P(A)|>|A|}\)) pokazuje nie tylko, że omawiane
\(\displaystyle{ P(A) \subseteq A}\) nie tylko \(\displaystyle{ \text{{\red nie jest }}}\) w ogólności prawdą (kotrprzykład podał szw1710), ale co więcej \(\displaystyle{ \text{{\red nigdy }}}\) nie zachodzi.

-- 1 lis 2017, o 21:13 --

Chociaż chyba najprościej jest zauważyć, że \(\displaystyle{ A \in P(A)}\), więc gdyby było
\(\displaystyle{ P(A)\subset A}\), to w szczególności \(\displaystyle{ A\in A}\), co jest wykluczone z uwagi na aksjomat regularności.

[Jan Kraszewski]

Chociaż chyba najprościej jest zauważyć, że \(\displaystyle{ A \in P(A)}\), więc gdyby było
\(\displaystyle{ P(A)\subset A}\), to w szczególności \(\displaystyle{ A\in A}\), co jest wykluczone z uwagi na aksjomat regularności.

Niekoniecznie - używasz trudnych słów "aksjomat regularności"...

JK