Znajdź granice

[matemags]

Dzień dobry, proszę o pomoc w znalezieniu granic, ponieważ nie wiem jak podejść do tych podpunktów.

a) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\left( n+1 \right) ^{2n ^{2} + 4n } }{\left( n ^{2}+2n \right) ^{n ^{2}+2n } }}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \frac{n+5}{n+3} \right) ^{3n+1}}\)

c) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \sqrt{n ^{2}+2n+2}- \sqrt{n ^{2}+3n+5 } \right)}\)

d) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{5 ^{n}+7 ^{n}+\cos ^{2}n }}\)

e) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2n!+n ^{3} }{\left( n+3\right)!+1 }}\)

[Premislav]

Wszędzie powinno być \(\displaystyle{ \lim_{{\red n} \to \infty }\ldots}\), a nie \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}\ldots}\).
a)
\(\displaystyle{ (n+1)^{2n^2+4n}=((n+1)^2)^{n^2+2n}}\)
i skorzystaj z tego, że
gdy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n=+\infty}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e}\)
b)
Wykorzystaj to, że gdy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n=+\infty}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e}\)
Mamy \(\displaystyle{ \frac{n+5}{n+3}=1+ \frac{2}{n+3}}\)
c)
Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \sqrt{a}-\sqrt{b}= \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} , \ a\ge 0, \ b\ge 0, a+b\neq 0}\)

d)
Oszacuj:
\(\displaystyle{ 7=\sqrt[n]{7 ^{n} } \le \sqrt[n]{5 ^{n}+7 ^{n}+cos ^{2}n } \le \sqrt[n]{7^n+7^n+7^n}=7\sqrt[n]{3}}\)
i skorzystaj z twierdzenia o trzech ciągach.


e) To jest \(\displaystyle{ 2\cdot n!}\) czy jednak \(\displaystyle{ (2n)!}\)
Tak czy siak, dzielisz licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n!}\) w pierwszym przypadku, zaś przez \(\displaystyle{ (n+3)!}\) w drugim przypadku i już wszystko widać (tw. o arytmetyce granic).

[matemags]

Nie mogę nic zrobić z liczbami pod pierwiastkiem w przykładzie c) i proszę o dalszą pomoc. Reszta wychodzi tak:
a) e
b) \(\displaystyle{ e^{3}}\)
c)
d) 7
e) 0

Czy któryś z wyników jest niepoprawny?

[Premislav]

a), b), d) - wyniki są poprawne, w e) to zależy, jak pisałem, od tego, czy to miało być \(\displaystyle{ 2\cdot n!}\), czy \(\displaystyle{ (2n)!}\), jak to pierwsze, to e) też masz dobrze.

Co do przykładu c):
zgodnie z tym, co wyżej napisałem, korzystamy z własności
\(\displaystyle{ \sqrt{a}-\sqrt{b}= \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}\)
dla \(\displaystyle{ a= \sqrt{n ^{2}+2n+2}, \ b= \sqrt{n ^{2}+3n+5 }}\)
i otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ \sqrt{n ^{2}+2n+2}- \sqrt{n ^{2}+3n+5 }= \frac{-n-3}{\sqrt{n ^{2}+2n+2}+ \sqrt{n ^{2}+3n+5 }}}\),
następnie dzielimy licznik i mianownik tego ostatniego ułamka przez \(\displaystyle{ n}\), wykorzystując przy tym to, że \(\displaystyle{ n=\sqrt{n^2}}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 0}\)
i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{-1- \frac{3}{n} }{\sqrt{1+\frac 2 n+\frac 3 {n^2}}+\sqrt{1+\frac 3 n+\frac 5 {n^2}}}}\)
a do obliczenia granicy tego przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) wystarczy już tw. o arytmetyce granic (granica sumy/różnicy, granica ilorazu itd.)

[matemags]

przykład e) powinien być tak jak napisałem - bez nawiasów. Czy wynik c) \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) jest poprawny?

[Premislav]

Zgadza się.

[matemags]

b)
Wykorzystaj to, że gdy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n=+\infty}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e}\)

Przeoczyłem jedną rzecz. W przykładzie b) wychodzi:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+\frac{\red 2}{n+3}\right)^{n+3}}\)
Czy to nadal będzie równe \(\displaystyle{ e}\)? Jeśli nie, to co zrobić z tą dwójką?

[Premislav]

O rany, też to przeoczyłem, powinno wyjść \(\displaystyle{ e^6}\).

Można to zrobić tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \frac{n+5}{n+3} \right) ^{3n+1}= \lim_{n \to \infty } \left( 1+\frac{2}{n+3}\right)^{-8} \cdot \left( 1+\frac{2}{n+3}\right)^{3(n+3)}=\\= \lim_{n \to \infty } {\blue \left( 1+\frac{2}{n+3}\right)^{-8}} \cdot {\red \left(\left( 1+ \frac{1}{ \frac{n+3}{2} } \right)^{ \frac{n+3}{2} }\right)^6 }}\)
Niebieska część oczywiście dąży do \(\displaystyle{ 1}\), natomiast czerwona do \(\displaystyle{ e^6}\), więc granicą iloczynu jest, jak wspomniałem, \(\displaystyle{ e^6}\).-- 1 lis 2017, o 19:55 --Można również się tak nie gimnastykować i sformułować ogólniejszy fakt:
jeżeli
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } x_n=0, \ \lim_{n \to \infty } y_n=+\infty}\)
oraz istnieje \(\displaystyle{ g= \lim_{n \to \infty }x_n y_n}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( 1+x_n\right)^{y_n}=e^g}\)
Tutaj
\(\displaystyle{ x_n= \frac{2}{n+3}, \ y_n=3n+1}\)

[matemags]

Czy mój sposób też jest poprawny?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n+5}{n+3} \right)^{3n+1} = \lim_{ n\to \infty }\left( 1 + \frac{2}{n+3} \right)^{3n+1} = \lim_{ n\to \infty }\left( 1 + \frac{2}{ \frac{n+3}{2} } \right)^{\left( 3n+1\right) \cdot \left( \frac{6n+2}{n+3} \right)}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{ \frac{n+3}{2}\right) } = e}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \frac{6n+2}{n+3} \right) = 6}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left( 1 + \frac{2}{ \frac{n+3}{2} } \right)^{\left( 3n+1\right) \cdot \left( \frac{6n+2}{n+3} \right)}\) = \(\displaystyle{ e ^{6}}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left( 1 + \frac{2}{n+3} \right)^{3n+1} = \lim_{ n\to \infty }\left( 1 + \frac{2}{ \frac{n+3}{2} } \right)^{\left( 3n+1\right) \cdot \left( \frac{6n+2}{n+3} \right)}}\)

Co zaszło w tej "równości"? Bo coś mi się tutaj nie zgadza.

Dalej pewnie coś zgubiłeś (jakiś wykładnik), ponieważ też nie jest prawdą, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{ \frac{n+3}{2}\right) } = e}\)

[matemags]

Przepraszam, trochę namieszałem, powinno być tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n+5}{n+3} \right)^{3n+1} = \lim_{ n\to \infty }\left( 1 + \frac{2}{n+3} \right)^{3n+1} = \lim_{ n\to \infty }\left( 1 + \frac{2}{ \frac{n+3}{2} } \right)^{\left( \frac{n+3}{2} \right) \cdot \left( \frac{6n+2}{n+3} \right)}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{ \frac{n+3}{2}\right) ^{ \frac{n+3}{2} } } = e}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \frac{6n+2}{n+3} \right) = 6}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left( 1 + \frac{2}{ \frac{n+3}{2} } \right)^{\left( \frac{n+3}{2} \right) \cdot \left( \frac{6n+2}{n+3} \right) = e ^{6}}\)

[Premislav]

Poza takim szczegółem, że w jednym miejscu masz literówkę, czy też "cyfrówkę":

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left( 1 + \frac{2}{n+3} \right)^{3n+1} = \lim_{ n\to \infty }\left( 1 + \frac{{\red 2}}{ \frac{n+3}{2} } \right)^{\left( \frac{n+3}{2} \right) \cdot \left( \frac{6n+2}{n+3} \right)}}\)

(tam, gdzie zaznaczyłem na czerwono, powinna przecież być jedynka), to jest jak najbardziej OK.

[matemags]

Dokładnie tak. Znowu dziękuję za pomoc.