\(\displaystyle{ f=\left( f_1,f_2,...,f_m\right):\RR^n \rightarrow \RR^m}\) jest odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie \(\displaystyle{ x \in \RR^n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left| \mbox{d} f(x)\right| \le \sqrt{\sum_{j=1}^{m}\left| \left| \nabla f_j\right| \right| _{2} ^{2}}}\), gdzie gradienty \(\displaystyle{ \nabla f_j}\) są brane w punkcie \(\displaystyle{ x}\).
Jak to ruszyć?
Gradienty, gradienty...
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Gradienty, gradienty...
Ostatnio zmieniony 27 paź 2017, o 09:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 22 gru 2013, o 11:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 9 razy
Re: Gradienty, gradienty...
Spróbuj najpierw udowodnić następującą nierówność:
Niech \(\displaystyle{ A=(A_{i,j})_{i\in\{1,\dotsc,m\},j\in\{1,\dotsc,n\}}}\) będzie macierzą \(\displaystyle{ m\times n}\) reprezentującą operator liniowy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}}\). Na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m}}\) zadajemy normę indukowaną przez iloczyn skalarny. Prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ \|A\|\le \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|A_{i,j}|^{2}}}\),
gdzie \(\displaystyle{ \|A\|}\) oznacza normę operatorową.
Z tej nierówności i postaci \(\displaystyle{ df(x)}\) łatwo wynika Twoja nierówność.
Niech \(\displaystyle{ A=(A_{i,j})_{i\in\{1,\dotsc,m\},j\in\{1,\dotsc,n\}}}\) będzie macierzą \(\displaystyle{ m\times n}\) reprezentującą operator liniowy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}}\). Na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m}}\) zadajemy normę indukowaną przez iloczyn skalarny. Prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ \|A\|\le \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|A_{i,j}|^{2}}}\),
gdzie \(\displaystyle{ \|A\|}\) oznacza normę operatorową.
Z tej nierówności i postaci \(\displaystyle{ df(x)}\) łatwo wynika Twoja nierówność.