Siła zmienna w czasie

[entomonolog]

Na pudełko o masie \(\displaystyle{ m = 1kg}\)działa zmienna w czasie siła \(\displaystyle{ F_(t) = 2[N/s]t}\). Prędkość i położenie początkowe pudełka wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ v_0 = 2m/s}\) i \(\displaystyle{ x_0 = 2m}\). Jakie będzie przyśpieszenie, prędkość i położenie pudełka po czasie \(\displaystyle{ T=2s}\)?

[NogaWeza]

Z drugiej zasady dynamiki:

\(\displaystyle{ m \ddot{x} (t) = F(t)}\), gdzie \(\displaystyle{ \ddot{x} (t)}\) to oczywiście przyspieszenie, zatem \(\displaystyle{ \ddot{x} (2) = \frac{1}{m} F(2)}\)

Aby wyznaczyć prędkość i położenie trzeba całkować to równanie i potem do rozwiązania wstawić \(\displaystyle{ t=2}\). Oczywiście przy rozwiązywaniu równania różniczkowego drugiego rzędu potrzebne są dwa warunki początkowe, ale są one dane w zadaniu jako \(\displaystyle{ x_0}\) oraz \(\displaystyle{ v_0}\), więc równanie da się rozwiązać bez większych problemów.

Czy da się bez równań różniczkowych (a konkretnie to całkowania stronami, tyle wystarczy) rozwiązać to zadanie to nie wiem.

[entomonolog]

Nie bardzo umiem to zrobić ;/ nie miałem w życiu całek itp itd a wymagają na cwiczeniach... na matmie dopiero na kolejnym semstrze... mogę prosić o dalszą pomoc?

[a4karo]

A znasz że szkoły wzory na drogę prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym?

[entomonolog]

\(\displaystyle{ x_1 = 14m?}\)

[kruszewski]

Uwagi kolegi NogaWęża są badzo słuszne, bowiem zadanie choć z punktu widzenia zasad dynamiki jest proste to z matematycznego już nie.
A ta całka jest trochę trudniejsza do rozwiązania niż poprzednia.
Zadawanie zadań wymagających użycia nie znanej dotychczas części matematyki mija się z celem.

[AiDi]

stąd \(\displaystyle{ v= \int_{}^{} \frac{2}{m}t dt = \frac{m}{2} ln|t| +C_1}\)

Coś przekombinowane, to całka z funkcji liniowej przecie

[a4karo]

Fakt. Ale przy takim zapisie : \(\displaystyle{ 2[N/s]t}\) większość czytających byłaby bez szans

[entomonolog]

Dżizas xD rachunek od II semestru na matmie a tutaj na dzien dobry z fizy na I... xD

[AiDi]

No tak to wygląda i niestety niewiele da się z tym zrobić. Na wydziale fizyki UW był pomysł by na I semestrze wykładać tylko matematykę, ale prawdopodobnie skończyłoby się to buntem dekady. Pewnie i tak głównie ze strony osób które do 2 roku nie dotrwają, no ale...

[kruszewski]

stąd \(\displaystyle{ v= \int_{}^{} \frac{2}{m}t dt = \frac{m}{2} ln|t| +C_1}\)

Coś przekombinowane, to całka z funkcji liniowej przecie

Oczywista!
I już się poprawiam:
\(\displaystyle{ F=2t}\), zatem przyspieszenie \(\displaystyle{ a= \frac{F}{m}= \frac{2}{ m}t}\)
prędkość jaką masa m osiągnie w chwili czasu t opisuje równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ dv= a dt,}\)
po scałkowaniu ma postać:
\(\displaystyle{ v = \frac{2}{m} \int_{}^{} t dt= \frac{2}{m} \frac{1}{2} t^2 +C_1}\)
Podobnie droga:
\(\displaystyle{ s= \frac{1}{m} \int_{}^{} t^2 dt + \int_{}^{} C_1dt = \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{3} t^3 + C_1t +C_2}\)
Stałe całkowania to:
\(\displaystyle{ C_1=2}\) , bo , \(\displaystyle{ v_{(t=0)}= 2 \ \frac{m}{s}}\)

oraz \(\displaystyle{ C_2= 2 \ m}\) , bo w chwili \(\displaystyle{ t=0}\), \(\displaystyle{ s_{(t=0)} = 2 \ m}\)

Równania ruchu są więc następujące:
\(\displaystyle{ v= \frac{1}{m} t^2 +2}\)
\(\displaystyle{ s =\frac{1}{3m} t^3 +2t+2}\)

Dziękuję Panu AiDi za zwrócenie uwagi na mój błąd.

[entomonolog]

więc jego obecne położenie to \(\displaystyle{ x_1 = 8,87 m}\) ?

[korki_fizyka]

więc jego obecne położenie to \(\displaystyle{ x_1 = 8,87 m}\) ?

\(\displaystyle{ x \approx 8,67}\) m

[entomonolog]

tak sory literówka.
Dzięki