Metoda Największej Wiarygodności i rozkład Poissona

[mac18]

Hej, mam problem ze zwinięciem funkcji wiarygodności próby z rozkładu Poissona.
Mam:
\(\displaystyle{ L\left( x _{1},..., x_{n}; \lambda \right) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lmbda ^{x _{i} } }{ x_{i}!} e ^{-\lambda}}\)
dostaję:
\(\displaystyle{ L\left( x _{1},..., x_{n}; \lambda \right) = e^{-n \lambda} \lambda^{ \sum_{i=1}^{n} x _{i}} ....}\)
i nie wiem tylko jak odpowiednio zwinąć sumę silni. Dalej sobie poradzę.

Edit:
a chyba wiem, trzeba w iloczyn:
\(\displaystyle{ L\left( x _{1},..., x_{n}; \lambda \right) = e^{-n \lambda} \cdot \lambda^{ \sum_{i=1}^{n} x _{i} } \cdot \frac{1}{ \prod_{i=1}^{n} x_{i}! }}\)

[Premislav]

Jest OK. Niemniej jednak pozwolę sobie polecić zlogarytmowanie tego, wówczas obliczenia będą przyjemniejsze (zaś logarytm naturalny jest ściśle rosnący).
Potem oczywiście rozważasz to jako funkcję \(\displaystyle{ \lambda}\), różniczkujesz etc.

[mac18]

Ok, policzyłem to, sprawdziłem czy jest nieobciążony i zgodny (oba tak) i muszę jeszcze zobaczyć czy jest najefektywniejszy. Chcę go porównać z estymatorem, który wyjdzie z Rao-Cramera.

Liczę logarytm z funkcji gęstości a potem pochodną po lambda i dochodzę do:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial \ln f(k,\lambda)}{ \partial \lambda} = -1 + \frac{k}{\lambda}}\)

Muszę policzyć teraz z tego wartość oczekiwaną do kwadratu i tu zaczynają się schody, bo nie miałem jeszcze tego na rachunku.
\(\displaystyle{ E[-1+ \frac{k}{\lambda}]^{2}}\). Jedyne co przychodzi mi do głowy to wyciągnąć jeden przez lamdba, ale potem nie wiem.

Edit, już wiem

[Premislav]

Podsumowanie: estymator, który wychodzi (czyli średnia), jest efektywny (tj. osiąga dolne ograniczenie wariancji z nierówności Cramera-Rao), obliczeń nie będę zapisywać, bo za długo by to trwało, a nic ciekawego tam nie ma.