Policz granicę

[wiktor363]

Oblicz granicę ciągu danego wzorem: \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^{n}}\), domyślam się, że granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\) ale nie wiem jak to wykazać.

[Premislav]

Jeżeli znasz dowód faktu, że
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1 n\right)^n<3}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\), to wiesz też, że
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1{n^2}\right)^{n^2}<3}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\), a więc
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1{n^2}\right)^{n}<\sqrt[n]{3}}\)
Szacowanie z dołu może zaś być choćby przez \(\displaystyle{ 1}\). No i twierdzenie o trzech ciągach.

[Janusz Tracz]

Premislav, fajne!
Bardziej tradycyjnie to

\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right)^n=\left( \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right)^{n^2}\right)^{ \frac{1}{n} } \rightarrow e^0=1}\)

[wiktor363]

Można tak po prostu wejść z limesem pod pierwiastek n-tego stopnia?

[Premislav]

Co masz na myśli? Nikt tu niczego takiego nie zastosował.
Zachodzi następujący fakt:
jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=a, \ \lim_{n \to \infty }b_n=b}\) (granice właściwe, a nie \(\displaystyle{ \pm \infty}\)), a także \(\displaystyle{ a_n>0}\) i co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest niezerowa (wszystkie te warunki mają zachodzić jednocześnie), to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n^{b_n}=a^b}\)
Można to też rozciągnąć na niektóre inne przypadki, ale z tym trzeba uważać.
Tutaj widzimy, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) jest
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}>0}\), ponadto, co można uznać chyba za znaną rzecz, jest \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( 1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=e}\),
natomiast oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac 1 n=0}\)

[wiktor363]

Teraz rozumiem, tylko nie wiedziałem, że prawdziwe jest \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n^{b_n}=a^b}\)...