Rzut ukośny.

[arczyy]

Czołem!
Mam mały problem, bo nie wiem czy zabrałem się do zadania z dobrej strony..

Mianowicie: Piłkarz znajdujący się \(\displaystyle{ 20 m.}\)od bramki kopnął piłkę z prędkością \(\displaystyle{ 40 \frac{m}{s}}\). Oblicz pod jakim kątem należy kopnąć piłkę by wpadła do bramki o wysokości \(\displaystyle{ H = 2,30 m}\).

Do obliczeń wziąłem wzór na zasięg rzutu ukośnego : \(\displaystyle{ Z = \frac{V _{o} \cdot \sin 2 \alpha}{G}}\)

oraz na \(\displaystyle{ H _{\max } = \frac{V _{o} ^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha}{2G}}\)

Po przeliczeniach wyszło odpowiednio:
z wzoru na Z \(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \alpha = 0,613125}\) Ew. \(\displaystyle{ Z = \sin 2 \alpha =1,22625}\)
Oraz z wzoru na \(\displaystyle{ H_{max}}\), \(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha = 0,2820375}\)


Teraz pytanie - czy aby na pewno użyłem odpowiednich wzorów do tego zadania? Czy trzeba tu uwzględnić jeszcze inne czynniki? Z góry dzięki za pomoc!

[janusz47]

Napisz równanie ogólne toru parabolicznego lotu piłki

\(\displaystyle{ y = f(x,\alpha).}\)

Podstaw w nim za \(\displaystyle{ x = 20 m, \ \ y = H = 2,3 m}\)

Wyznacz z niego miarę kąta \(\displaystyle{ \alpha.}\)

[Igor V]

Piłka wpadnie do bramki jeśli \(\displaystyle{ y \in [0, 2.3]}\) dla \(\displaystyle{ x = 20}\)

[janusz47]

Wstawiamy współrzędne punktu \(\displaystyle{ (20; 2,3)}\), znajdujemy \(\displaystyle{ \alpha_{max}}\) i zaniedbując rozmiary piłki \(\displaystyle{ \alpha \in [0, \alpha_{max}].}\)

[SlotaWoj]

Trzeba jeszcze z zasięgu rzutu wyznaczyć \(\displaystyle{ \alpha_{min}}\).

PS. Zwyczajowo prędkość oznaczamy małą literą v (dużą, objętość), a przyspieszenie ziemskie małą literą g (dużą, stałą grawitacji).

[janusz47]

Eliminując czas \(\displaystyle{ t}\) z równań parametrycznych opisujących lot piłki, otrzymujemy równanie toru:

\(\displaystyle{ y = y(x) = x\cdot \tg(\alpha) - \frac{gx^2}{2v^2_{0}\cos^2(\alpha)}.}\) (1)

Jest to równanie paraboli przechodzącej przez początek prostokątnego układu współrzędnych, której wykres ma gałęzie skierowane do dołu.

Rozważając zagadnienie "balistyczne" dotyczące strzału do bramki, zaniedbując opór powietrza - należy zadać pytanie, jak należy strzelać, aby trafić w bramkę, uwzględniając jej aspekt wysokościowy, a pomijając szerokościowy?

Bramka znajduje się w odległości \(\displaystyle{ S}\) od piłkarza oraz ma wysokość \(\displaystyle{ H}\) ponad Ziemią.

Strzelając do bramki - piłkarz może zmieniać nachylenie stopy \(\displaystyle{ \alpha}\).
Zakładamy, że nie może zmieniać prędkości początkowej \(\displaystyle{ v_{0}}\) piłki, ponieważ zależy ona od jego wyszkolenia (siły uderzenia) i budowy stopy.

Ażeby odpowiedzieć na to pytanie, zażądajmy, aby tor piłki opisywany równaniem (1) przechodził przez wysokość bramki.

\(\displaystyle{ H = S\cdot \tg(\alpha)- ( 1+\tg^2(\alpha))\cdot \frac{g\cdot S^2}{2v^2_{0}}.}\) (2)

Jest to równanie kwadratowe względem \(\displaystyle{ \tg(\alpha).}\).

Rozwiązując je, znajdujemy dla jego pierwiastków następujące wyrażenie:

\(\displaystyle{ \tg(\alpha) = \frac{1}{g\cdot S}\left [v^2_{0} \pm \sqrt{v^4_{0}- g\cdot (g\cdot S^2+2v^{2}_{0}\cdot H)}\right ].}\) (3)

Jeśli wyróżnik równania (3) nie jest ujemny, tzn.

\(\displaystyle{ v^4_{0}- g\cdot (g\cdot S^2+2v^{2}_{0}\cdot h)\geq 0,}\) (4)

to równanie (2) ma pierwiastki rzeczywiste i w związku z tym, przy danej prędkości początkowej piłki można trafić w bramkę.

Jeżeli ponadto wyróżnik jest dodatni ( równanie (2) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste), to w bramkę można trafić przy dwóch różnych torach piłki. Tor z mniejszą wartością kąta nazywamy "płaskim" a z większą "stromym". W przypadku, gdy wyróżnik jest równy zero, tzn. gdy pierwiastki równania są identyczne przy ustalonej wartości prędkości początkowej można trafić w bramkę tylko dla jednej ściśle określonej wartości kąta \(\displaystyle{ \alpha.}\)

Jeżeli wyróżnik jest ujemny to równanie (2) nie ma pierwiastków rzeczywistych i dla zadanej określonej wartości \(\displaystyle{ v_{0}}\) nie można trafić w bramkę przy żadnej wartości kąta \(\displaystyle{ \alpha,}\) ani jeden tor piłki z (1) nie "dochodzi" do bramki.

Jasne jest, że wartość zerowa wyróżnika, określa jednoznacznie tę minimalną wartość prędkości początkowej \(\displaystyle{ v_{0_{min}},}\) przy której można trafić w bramkę:

\(\displaystyle{ v_{0_{min}}= g\cdot (H +\sqrt{H^2 + S^2}).}\)

Z drugiej strony, przy zadanej wartości \(\displaystyle{ v_{0}}\) zerowanie się wyróżnika określa współrzędne najbardziej oddalonych bramek, w które można trafić tzn. granice obszaru ostrzeliwanego przez piłkarza.

Wyrażając \(\displaystyle{ H}\) z równania:

\(\displaystyle{ v^4_{0}- g\cdot (g\cdot S^2+2v_{0}\cdot H)=0}\)

znajdujemy

\(\displaystyle{ H = \frac{v^2_{0}}{2g} - \frac{g\cdot S^2}{2v^2_{0}}.}\)

Wzór ten określa największą wysokość bramki, znajdującej się w odległości \(\displaystyle{ S}\) (w kierunku poziomym) od piłkarza, w którą możemy jeszcze trafić dla danej wartości \(\displaystyle{ v_{0}.}\)

Po tym teoretycznym wstępie - proszę skorzystać z podanych wzorów, podstawić do nich dane liczbowe zawarte w zadaniu, określić zakres wartości miary kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) i sprawdzić jednostki.

Używanie symboli zapisanych dużymi literami, takich jak na przykład \(\displaystyle{ S, H, V}\)
oznaczających wielkości inne niż zwyczajowo przyjęte jest niewygodne, choć uważam że dozwolone, jeśli nie prowadzi to do nieporozumień.

W tym przypadku oznaczenie przyśpieszenia ziemskiego \(\displaystyle{ G}\) zamiast zwyczajowo przyjętego jako \(\displaystyle{ g}\) może prowadzić do nieporozumienia.

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ H = S\cdot \tg(\alpha)- ( 1+\tg^2(\alpha))\cdot \frac{g\cdot S^2}{2v^2_{0}}.}\) (2)
...
\(\displaystyle{ {\red{\tg(\alpha) = \frac{1}{g\cdot S}\left [v^2_{0} \pm \sqrt{v^4_{0}- g\cdot (g\cdot S^2+2v_{0}\cdot H)}\right ]}}.}\) (3)

To rozwiązanie jest złe, tzn. nie jest to rozwiązanie równania powyżej.

W przypadku, gdy wyróżnik jest równy zero, tzn. gdy pierwiastki równania są identyczne przy ustalonej wartości prędkości początkowej ...

piłkarz trafi w poprzeczkę bramki tylko gdy uderzy piłkę pod kątem \(\displaystyle{ 45^\circ}\) do poziomu.

Jeżeli wyróżnik jest ujemny to ...

to piłkarz nigdy (przy żadnej wartości kąta uderzenia) nie trafi w poprzeczką, co wcale nie oznacza, że piłka nie doleci do bramki.
Aby piłka mogła dolecieć do bramki (a nie potoczyć się) wystarczy, aby maksymalny zasięg rzutu ukośnego był większy niż \(\displaystyle{ 20\text{ m}}\) .

Oczywiście trzeba zrobić dyskusją rozwiązania zadania. Jej wynikiem będą nierówności:

• \(\displaystyle{ \alpha_{1_\text{min}}\le\alpha\le\alpha_{1_\text{max}}\quad\vee\quad\alpha_{2_\text{min}}\le\alpha\le\alpha_{2_\text{max}}}\)

[janusz47]

Jeśli, się pisze, że coś jest złe. To się pokazuje, że to moje jest dobre.

Nic Pan nie pokazał, a tylko Pan krytykuje!

Proszę rozwiązać poprawnie krok po kroku równanie kwadratowe i przekonać się, że jest rozwiązane poprawnie.

Proszę zapoznać się z dyskusją zasięgu i celowości rzutu ukośnego w zależności od wielkości jego parametrów, gdy pomijamy opory ruchu z kursu fizyki.

[AiDi]

Nic Pan nie pokazał, a tylko Pan krytykuje!

I po co kolejny raz oburzenie? Nikt nie jest nieomylny, Ty też. Przestań w końcu odbierać wszelką krytykę jako atak na swoją osobę.

Proszę rozwiązać poprawnie krok po kroku równanie kwadratowe i przekonać się, że jest rozwiązane poprawnie.

Popatrz sobie na wyrażenie pod pod pierwiastkiem i jego jednostki:
\(\displaystyle{ v^4_{0}- g\cdot (g\cdot S^2+2v_{0}\cdot H)=v_0^4-g^2S^2-2gv_0H}\).
Pierwszy składnik ma inne jednostki niż ostatni.

Ukryta treść:    

Proszę zapoznać się z dyskusją zasięgu i celowości rzutu ukośnego w zależności od wielkości jego parametrów, gdy pomijamy opory ruchu z kursu fizyki.

Dobrze by było czasem się zastanowić do kogo się takie rzeczy pisze, a nie traktować wszystkich z góry jak zwykłych uczniaków.

[janusz47]

Aidi przestań być sędzią i adwokatem.

Rozwiąż równanie kwadratowe i dopiero wtedy zabieraj głos. Pamiętam Twoje posty na Ars Physica!

[AiDi]

Aidi przestań być sędzią i adwokatem.

Naucz się przyznawać do błędów. Popełniłeś podstawowy błąd, każdemu się zdarza.

Rozwiąż równanie kwadratowe i dopiero wtedy zabieraj głos.

Ale po co? Nie muszę rozwiązywać równania, żeby wytknąć Tobie błąd. Napisałeś coś czego w fizyce nie można napisać:
\(\displaystyle{ v^4_{0}- g\cdot (g\cdot S^2+2v_{0}\cdot H)=v_0^4-g^2S^2-2gv_0H}\).
Dodajesz do siebie wielkości fizyczne o różnych jednostkach. \(\displaystyle{ gv_0H}\) ma jednostkę \(\displaystyle{ \frac{m^3}{s^3}}\), a \(\displaystyle{ v_0^4}\) ma jednostkę \(\displaystyle{ \frac{m^4}{s^4}}\).

Pamiętam Twoje posty na Ars Physica!

I co to ma do tematu i dodawania do siebie wielkości o różnych jednostkach?

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ H = S\cdot \tg(\alpha)- ( 1+\tg^2(\alpha))\cdot \frac{g\cdot S^2}{2v^2_{0}}.}\) (2)

Rozwiązaniem tego równania są:

• \(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac{v_0^2}{gS}\left(1\mp\sqrt{1-\frac{2g}{v_0^2}\left(\frac{gS^2}{2v_0^2}+H \right)\right)}}\)

a po podstawieniu i obliczeniach:

• \(\displaystyle{ \alpha_{1_\text{max}}=10,1062^\circ}\)
  \(\displaystyle{ \alpha_{2_\text{min}}=86,4540^\circ}\)

[harko12]

SlotaWoj, jeżeli mógłbyś, lub jakakolwiek inna dobra dusza byłaby w stanie rozpisać łopatologicznie jak wyszło przekształcenie i ew jak wyszły te kąty, bardzo pomogłaby 125 studentom 1 roku obserwujących to zadanie Nam wychodzą dziwne wartości (każdemu inne) i śr po 4 rozwiązania. Z góry dziękuje.

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ H = S\cdot \tg(\alpha)- ( 1+\tg^2(\alpha))\cdot \frac{g\cdot S^2}{2v^2_{0}}}\)

To równanie jest poprawne.

Po wymnożeniu, uporządkowaniu i zmianie znaku:

• \(\displaystyle{ \frac{gS^2}{2v_0^2}\tg^2\alpha-S\tg\alpha+\frac{gS^2}{2v_0^2}+H=0}\)
  \(\displaystyle{ \Delta=S^2\Bigg(1-\frac{2g}{v_0^2}\left(\frac{gS^2}{2v_0^2}+H\right)\Bigg)}\)
  \(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac{S\mp S\sqrt{1-\frac{2g}{v_0^2}\left(\frac{gS^2}{2v_0^2}+H\right)}}{2\frac{gS^2}{2v_0^2}}=\frac{v_0^2}{gS}\left(1\mp\sqrt{1-\frac{2g}{v_0^2}\left(\frac{gS^2}{2v_0^2}+H \right)\right)}}\)

[janusz47]

Uwzględniając kwadraty przy \(\displaystyle{ v_{0}}\)

\(\displaystyle{ H = S\cdot \tg(\alpha)- \left(1 +\tg^2(\alpha \right )\cdot \frac{g\cdot S^2}{2v^2_{0}}.}\)

\(\displaystyle{ -\frac{g\cdot S^2}{2v^2_{0}}\cdot \tg^2(\alpha) +S\cdot \tg(\alpha)- \frac{g\cdot S^2}{2v^2_{0}}- H = 0.}\)

\(\displaystyle{ \Delta = S^2 - 4\frac{g\cdot S^2}{2v^2_{0}}\cdot \left( \frac{g\cdot S^2}{2v^2_{0}}+H \right) = S^2 -\left[ \frac{g^2\cdot S^4}{v^4_{0}} + \frac{2 H\cdot g \cdot S^2}{v^2_{0}}\right]}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{S^2 -\left[ \frac{g^2\cdot S^4}{v^4_{0}} + \frac{2 H\cdot g\cdot S^2}{v^2_{0}}\right]}}\)

\(\displaystyle{ \tg(\alpha_{1,2})= \frac{-S \mp \sqrt{S^2 -\left[ \frac{g^2\cdot S^4}{v^4_{0}}+\frac{2 H\cdot g \cdot S^2}{v^2_{0}}}\right]}{-\frac{g\cdot S^2}{v^2_{0}}}.}\)

\(\displaystyle{ \tg(\alpha_{1,2}= \frac{v^2_{0}}{g\cdot S}\pm \frac{v^2_{0}}{g\cdot S^2}\cdot\sqrt{S^2 -\left[ \frac{g^2\cdot S^4}{v^4_{0}}+\frac{2 H\cdot g \cdot S^2}{v^2_{0}}}\right]}.}\)

\(\displaystyle{ \tg(\alpha_{1,2})= \frac{1}{g\cdot S}\left[ v^2_{0} \pm \frac{v^2_{0}}{S}\cdot\sqrt{S^2 -\left[ \frac{g^2\cdot S^4}{v^4_{0}}+\frac{2 H\cdot g \cdot S^2}{v^2_{0}}}\right]}.}\)

\(\displaystyle{ \tg(\alpha_{1,2})= \frac{1}{g\cdot S}\left[v^2_{0} \pm \sqrt{v^4_{0} -g^2\cdot S^2-2v_{0}^2\cdot H\cdot g}\right].}\)

\(\displaystyle{ \tg(\alpha_{1,2})= \frac{1}{g\cdot S}\left[v^2_{0} \pm \sqrt{v^4_{0} -g\cdot (g\cdot S^2+ 2v^2_{0}\cdot H)}\right].}\)

Po podstawieniu danych liczbowych:

\(\displaystyle{ tg(\alpha_{1})= \frac{1}{2\cdot 10^2}\left[1,6\cdot 10^3 - \sqrt{(4\cdot 10)^4- 10\cdot( 10^\cdot 20^2+ 2\cdot 2,3\cdot 40^2)}\right] = 0,17951.}\)

\(\displaystyle{ tg(\alpha_{2})= \frac{1}{2\cdot 10^2}\left[ 1,6\cdot 10^3 + \sqrt{(4\cdot 10)^4-10\cdot ( 10^\cdot 20^2+ 2\cdot 2,3\cdot 40^2)}\right] = 15,820.}\)

OCTAVE 4.6.1.

Kod: Zaznacz cały

>> (1/(2*10^2))*(1.6*10^3- sqrt((4*10)^4- 10*(10*400+3200*2.3)))
ans =  0.17951
> (1/(2*10^2))*(1.6*10^3+ sqrt((4*10)^4- 10*(10*400+3200*2.3)))
ans =  15.820

\(\displaystyle{ \alpha_{1}= 10,2^{o}}\)

\(\displaystyle{ \alpha_{2}= 86,4^{o}.}\)