Przedstawienie w postaci trygonometrycznej

[zer012]

Mam przedstawić liczby w postaci trygonometrycznej jednak nie wiem w jaki sposób mam wyliczyć kąty.

\(\displaystyle{ 1.\ z = \left( 1+2i \right) \left( 1-i \right) = 3+i\\
\left| z \right| = \sqrt{10} \\
\cos \alpha = \frac{3}{ \sqrt{10} } \\
\sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{10} }\\
z = \sqrt{10} \left( \cos \left( \arctan \left( \frac{1}{3} \right) \right) + i\sin \left( \arctan \left( \frac{1}{3} \right) \right) \right) ???}\)

\(\displaystyle{ 2.\ z = 1 + \cos \frac{ \pi }{4} + \sin \frac{ \pi }{4}}\)

[Premislav]

1. No tak, nic lepszego z tym nie zrobisz.
2. Chyba miało być
\(\displaystyle{ 1+\cos \frac \pi 4+i\sin \frac \pi 4}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ 1=\cos 0+i\sin 0}\), skorzystaj ze wzorów na sumę cosinusów i sumę sinusów.

[zer012]

\(\displaystyle{ \cos 0+i\sin 0 + \cos \frac{ \pi }{4} + i\sin \frac{ \pi }{4} = 2\cos \frac{ \pi }{8} \cos \frac{ \pi }{8} + 2i\sin \frac{ \pi }{8} \cos \frac{ \pi }{8} =\\
= 2\cos \frac{ \pi }{8} \left( \cos \frac{ \pi }{8} + i\sin \frac{ \pi }{8} \right)}\)

A co w przypadku \(\displaystyle{ \left( 2+i \right) ^{6}}\) ? Podczas przeliczeń mam użyć postaci trygonometrycznej lub wykładniczej.

[Premislav]

\(\displaystyle{ 2+i=\sqrt{5}\left( \cos \left(\arctg \frac{1}{2} \right)+i\sin \left(\arctg \frac{1}{2} \right) \right)}\) i wzór de Moivre'a.
Ale uważam, że to nie wygląda na wygodne podejście (to eufemizm) i że narzucanie metody jest bardzo nie w porządku (już były o tym kiedyś dyskusje na forum, nie zamierzam do tego wracać, bo wiem, że i tak mam rację w tej sprawie).

[zer012]

Dzięki za wyjaśnienie