Relacja równoważności i klasy abstrakcji

[Sansi]

W zbiorze \(\displaystyle{ \left( \RR \setminus \left\{ 0\right\}\right) \times \RR}\) określono relację \(\displaystyle{ (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow ac>0}\)

Pokazać, że \(\displaystyle{ R}\) jest relacją równoważności i wyznaczyć jej klasy abstrakcji.

Jak zabrać się do takiego zadania?

Przeczytałam tematy, które udało mi się znaleźć na podobnych zasadach ale nie pomogły mi zawarte tam informacje.
Wiem, że aby relacja była relacją równoważności musi być zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Mam wzory określające jak przebiegają te relacje. Niestety wydaje mi się to zadaniem bardzo teoretycznym, a moje liceum nie szczególnie uczyło mnie teoretycznego podejścia do matematyki.

Nie wiem jak dorzucić tutaj założenie \(\displaystyle{ ac > 0}\).

Próbowałam robić coś w tym stylu
\(\displaystyle{ (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow (a,b) \Rightarrow (c,d) \Leftrightarrow (a \Rightarrow d)}\)

ale nie podchodzi mi to zupełnie i nie uwzględnia \(\displaystyle{ ac > 0}\).

Bardzo proszę o pomoc

[Jan Kraszewski]

Nie wiem jak dorzucić tutaj założenie \(\displaystyle{ ac > 0}\).

To nie jest założenie, tylko definicja relacji. Dwie pary niezerowych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (a,b),(c,d)}\) są w relacji \(\displaystyle{ R}\) dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ ac>0}\) (albo -innymi słowy - gdy ich pierwsze współrzędne mają ten sam znak).

Próbowałam robić coś w tym stylu
\(\displaystyle{ (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow (a,b) \Rightarrow (c,d) \Leftrightarrow (a \Rightarrow d)}\)

ale nie podchodzi mi to zupełnie i nie uwzględnia \(\displaystyle{ ac > 0}\).

Istotnie, nie ma to sensu.

Zacznij od zwrotności. Masz pokazać, że dla dowolnej pary niezerowych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (a,b)}\) zachodzi \(\displaystyle{ (a,b)R(a,b)}\). Ale z definicji oznacza to, że \(\displaystyle{ a^2>0}\), co istotnie jest prawdą (bo \(\displaystyle{ a\neq 0}\)). Zatem relacja jest zwrotna.

Teraz spróbuj z symetrią.

JK

[Sansi]

Hmm nie wiem czy dobrze rozumiem zasadę tej relacji ale mam nadzieję, że tak.

A więc mój pomysł przedstawia się następująco.

\(\displaystyle{ (a,b)R(c,d) \Rightarrow (c,d)R(a,b)}\)
czy powinnam dać między nimi znak równoważności?
\(\displaystyle{ ac>0 \Rightarrow ca>0}\)

jeśli dobrze rozumiem, między wyrazami \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) występuje znak mnożenia, które to jest przemienne. Niezależnie więc od tego czy przemnożymy (przykładowo) \(\displaystyle{ 2}\) przez \(\displaystyle{ 4}\)czy \(\displaystyle{ 4}\) przez \(\displaystyle{ 2}\) wynik będzie ten sam, więc również nie ma różnicy między mnożeniem \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ c}\) czy \(\displaystyle{ c}\) przez \(\displaystyle{ a}\).
Więc relacja jest symetryczna.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ (a,b)R(c,d) \Rightarrow (c,d)R(a,b)}\)
czy powinnam dać między nimi znak równoważności?
\(\displaystyle{ ac>0 \Rightarrow ca>0}\)

Nie, wystarczy implikacja.

Żeby było porządnie, powinnaś napisać, że ustalasz dowolne \(\displaystyle{ (a,b),(c,d)\in\left( \RR \setminus \left\{ 0\right\}\right) \times \RR}\) takie, że \(\displaystyle{ (a,b)R(c,d)}\). Wtedy z definicji \(\displaystyle{ ac>0}\) itd.

jeśli dobrze rozumiem, między wyrazami \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) występuje znak mnożenia, które to jest przemienne. Niezależnie więc od tego czy przemnożymy (przykładowo) \(\displaystyle{ 2}\) przez \(\displaystyle{ 4}\)czy \(\displaystyle{ 4}\) przez \(\displaystyle{ 2}\) wynik będzie ten sam, więc również nie ma różnicy między mnożeniem \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ c}\) czy \(\displaystyle{ c}\) przez \(\displaystyle{ a}\).
Więc relacja jest symetryczna.

To dobre spostrzeżenie, tylko przykład można sobie darować, bo nic nie wnosi.

Teraz przechodniość.

JK

[Sansi]

Blokada. Nie mogę sobie tego jakoś rozbić, nie widzę tego \(\displaystyle{ z}\).

Powinnam to potraktować jako

\(\displaystyle{ aRc \wedge bRd \Rightarrow aRd}\) ?

[Jan Kraszewski]

Nie. Definicja przechodniości mówi, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z\in X}\) jeśli \(\displaystyle{ xRy}\) i \(\displaystyle{ yRz}\), to \(\displaystyle{ xRz}\). Masz zatem wziąć dowolne \(\displaystyle{ x,y,z\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ xRy}\) i \(\displaystyle{ yRz}\), a następnie udowodnić, że \(\displaystyle{ xRz}\).

Tyle ogólna teoria. W Twoim wypadku relacja jest określona na parach, więc musisz ustalić dowolne \(\displaystyle{ (a,b),(c,d), (e,f)\in\left( \RR \setminus \left\{ 0\right\}\right) \times \RR}\), o których zakładasz, że \(\displaystyle{ (a,b)R(c,d)}\) i \(\displaystyle{ (c,d)R(e,f)}\) i udowodnić, że \(\displaystyle{ (a,b)R(e,f)}\). Teraz z definicji rozpisz, jakie masz założenia (czyli co to znaczy, że \(\displaystyle{ (a,b)R(c,d)}\) i \(\displaystyle{ (c,d)R(e,f)}\)) oraz ustal, co masz dowieść (czyli co to znaczy, że \(\displaystyle{ (a,b)R(e,f)}\)). A potem spróbuj to zrobić.

JK

[Sansi]

A więc mogę (a nawet muszę) dodać zbiór. Zapamiętam.

Więc teraz moimi słowami mówiąc wynika, że \(\displaystyle{ ac>0}\) więc obecnie \(\displaystyle{ c}\) odpowiada \(\displaystyle{ e}\), więc również \(\displaystyle{ ae>0}\) .
Tylko jak zapisać to "odpowiada" matematycznie?

[Jan Kraszewski]

A więc mogę (a nawet muszę) dodać zbiór. Zapamiętam.

Co to znaczy "dodać zbiór"?

Więc teraz moimi słowami mówiąc wynika, że \(\displaystyle{ ac>0}\) więc obecnie \(\displaystyle{ c}\) odpowiada \(\displaystyle{ e}\), więc również \(\displaystyle{ ae>0}\) .
Tylko jak zapisać to "odpowiada" matematycznie?

Nie wiem, co masz na myśli, pisząc "odpowiada".

JK

[Sansi]

Dodać zbiór w sensie przyjąć założenie, że istnieje trzeci zbiór \(\displaystyle{ (e,f)}\) będący w relacji podanej w definicji.

Hmm nie wiem jak ująć to lepiej. \(\displaystyle{ a}\) jest w takiej samej relacji z \(\displaystyle{ e}\) jak \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ c}\) więc \(\displaystyle{ e}\) i \(\displaystyle{ c}\) są elementami odpowiadającymi sobie?


edit

Czy może jeśli \(\displaystyle{ c=e}\) to \(\displaystyle{ (a,b)R(e,f)}\)?

[Jan Kraszewski]

Dodać zbiór w sensie przyjąć założenie, że istnieje trzeci zbiór \(\displaystyle{ (e,f)}\) będący w relacji podanej w definicji.

Przecież to nie jest żaden zbiór, tylko para uporządkowana...

Hmm nie wiem jak ująć to lepiej. \(\displaystyle{ a}\) jest w takiej samej relacji z \(\displaystyle{ e}\) jak \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ c}\) więc \(\displaystyle{ e}\) i \(\displaystyle{ c}\) są elementami odpowiadającymi sobie?

Ale na razie nic nie ujęłaś. Relacja to jest jakaś zależność, w której pozostają elementy zbioru, na którym jest ona określona. Jest zazwyczaj (tak jak w tym wypadku) określona konkretnym warunkiem i to tym warunkiem trzeba operować. To są matematyczne konkrety, a stwierdzenie "\(\displaystyle{ a}\) jest w takiej samej relacji z \(\displaystyle{ e}\) jak \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ c}\) więc \(\displaystyle{ e}\) i \(\displaystyle{ c}\) są elementami odpowiadającymi sobie" nie ma niestety żadnej treści.

Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ (a,b),(c,d), (e,f)inleft( RR setminus left{ 0
ight}
ight) imes RR}\), o których zakładasz, że \(\displaystyle{ (a,b)R(c,d)}\) i \(\displaystyle{ (c,d)R(e,f)}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ ac>0}\) i \(\displaystyle{ ce>0}\). Chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ a
ed elack>0}\). W tym celu możesz np. wymnożyć wcześniejsze nierówności stronami i dostać \(\displaystyle{ ac^2
ed elack>0}\), co po podzieleniu stronami przez \(\displaystyle{ c^2}\) (dlaczego wolno to zrobić?) da Ci tezę. Możesz też zauważyć, iż warunek \(\displaystyle{ ac>0}\) jest równoważny temu, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) są tego samego znaku. Podobnie tego samego znaku są \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{
ed e}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{
ed e}\) są tego samego znaku, zatem \(\displaystyle{ a
ed elack>0}\).

@edit: pomyliłem \(\displaystyle{ f}\) z \(\displaystyle{
ed e}\), co już poprawiłem.

Jeśli chodzi o klasy abstrakcji, to poczytaj to: 308032.htm#p4974249.

Czy może jeśli \(\displaystyle{ c=e}\) to \(\displaystyle{ (a,b)R(e,f)}\)?

Nie wolno Ci zakładać niczego dodatkowego.

Widzę, że czeka Cię niestety dużo pracy, bo nawet jeśli zobaczysz rozwiązanie tego zadania, to padniesz na następnym. Nie jest zaskakujące, że masz problemy z relacjami równoważności (bo to trudny materiał), problemem jest to, że masz kłopoty na podstawowym formalnym poziomie - nie umiesz zastosować definicji i gubisz się w znaczkach. No cóż, walcz.

JK

[Sansi]

Dziękuję za pomoc. Mam nadzieję, że po 5h zajęć takie braki to jeszcze nie tragedia

[Jan Kraszewski]

Tragedia może nie, ale pewien powód do niepokoju jest, bo na razie traktujesz te znaczki trochę magicznie. Co innego, gdy masz problem z konkretną relacją równoważności, a co innego gdy masz problem w ogóle z tym pojęciem. Oczywiście to, że szkoła nijak Cię nie przygotowała na takie uderzenie abstrakcji nie ułatwia Ci sprawy, ale nie stawia Cię od razu na przegranej pozycji.

Porozwiązuj trochę zadań dotyczących relacji równoważności, ale prostszych - warto zaczynać od najprostszych relacji, żeby zrozumieć, o co w ogóle chodzi. I staraj się zrozumieć, a nie tylko rozwiązać zadanie. A jak nie rozumiesz, to pytaj.

I pamiętaj - wszystkie te znaczki coś znaczą i Twoim celem jest zrozumienie ich znaczenia, a nie nauka żonglerki znaczkami.

JK

[Sansi]

Chciałabym prostsze naprawdę ale to jest pierwszy najprostszy przykład z tych od nas wymaganych :/ Chyba pora zagłębić się w internet. Wydaje mi się, że prościej byłoby na zwykłych liczbach niż na parach uporządkowanych.

Czy mogę kontynuować ewentualne kolejne przykłady w tym temacie czy zakładać nowy?

[Jan Kraszewski]

Chciałabym prostsze naprawdę ale to jest pierwszy najprostszy przykład z tych od nas wymaganych :/

To nie ma nic do rzeczy - najpierw musisz zrozumieć.

Chyba pora zagłębić się w internet.

Na tym forum jest dużo przykładów.

Wydaje mi się, że prościej byłoby na zwykłych liczbach niż na parach uporządkowanych.

To zależy od definicji relacji, ale proste przykłady są na prostych zbiorach.

Czy mogę kontynuować ewentualne kolejne przykłady w tym temacie czy zakładać nowy?

Dla nowych przykładów zakładaj nowe wątki, dla każdego osobny.

JK

[Sansi]

Czy relacja jest zwrotna

Tak, ponieważ \(\displaystyle{ \bigwedge x \in \RR \setminus \left\{ 0\right\} x \cdot x>0}\)

Czy relacja jest symetryczna

Tak, ponieważ \(\displaystyle{ \bigwedge x,y \in \RR \setminus \left\{ 0\right\} \left( a,b\right) R \left( c,d\right) \Leftrightarrow ac > 0 \wedge \bigwedge x,y \in \RR \setminus \left\{ 0\right\} \left( c,d\right) R \left( a,b\right) \Leftrightarrow ca > 0}\)
powołuję się na zasadę przemienności mnożenia

Czy relacja jest przechodnia

Wiem, że powyżej pisał Pan, Panie Kraszewski, że muszę skupić się na relacji \(\displaystyle{ aRf}\). Tylko, że jakoś im dłużej analizowałam proste przykłady tym bardziej wydaje mi się, że skoro trzymam się par uporządkowanych to również tutaj jako argument "\(\displaystyle{ z}\)" z definicji przechodniości powinnam podstawić parę uporządkowaną. Czy dobrze myślę?

Tak, ponieważ \(\displaystyle{ (a,b) R (c,d) \wedge (c,d) R (e,f) \Rightarrow (a,b) R (e,f)}\)

Założenia:
\(\displaystyle{ ac>0 \bigwedge x \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\)
1) \(\displaystyle{ -a \cdot (-c) > 0}\)
2)\(\displaystyle{ a \cdot c >0}\)

Obie liczby muszą zatem prezentować ten sam znak. Zatem warunek spełniony dla
\(\displaystyle{ \bigwedge x \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ a \cdot e >0}\) lub \(\displaystyle{ -a \cdot (-e) >0}\)


Czy tak napisane zadanie wygląda już nieco lepiej?